里斯表示定理

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泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理(英语:Riesz representation theorem),它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯

希尔伯特空间的表示定理

此定理说明希尔伯特空间连续线性泛函都可以表示成内积。

定理是个复希尔伯特空间(也就是标量是复数),那对于任意连续线性泛函 ,存在唯一的 使得

证明的重点在于先证明正交补 的一维子空间,然后取那个子空间中一个非零元素 ,设

与狄拉克符号的关系

这个定理也是量子力学中的狄拉克符号于数学上合理的依据;也就是说,当概率幅 对每个任意态向量 都是连续的时候,可以视为每个左向量 (也就是表示跃迁到 状态的概率幅的线性泛函)都有一个相应的右向量 来同时代表同一个纯态 ,因为根据以上的表现定理, 就是 的内积。

里斯-马尔可夫表示定理

历史

历史上,通常认为这个定理同时由里斯弗雷歇发现[1]

给定算子 ,(任何人)可以构造一个有界变差函数 ,使得,对任何连续函数 ,(任何人)有


Étant donnée l'opération , on peut déterminer la fonction à variation bornée , telle que, quelle que soit la fonction continue , on ait

.


— Riesz, 1909

支集为紧的连续函数空间

意为由所有支集连续函数 所构成的函数空间。

定理局部紧豪斯多夫空间 ,则对正线性泛函 ,存在一个含有所有 博雷尔集Σ-代数 ,且存在唯一的测度 使得[2]

且(以下的条件称为正则的

  • 对所有 紧子集
  • ,则
  • ,则
  • 的开集,则

于无穷远处消失的连续函数空间

里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本:

上所有在无穷远处消失连续函数 所构成的函数空间。

定理局部紧豪斯多夫空间。则对有界线性泛函 ,存在一个含有所有 博雷尔集Σ-代数 ,且存在唯一的正则测度 使得[2]

范数全变差(英语:total variation),即

最后,的当且仅当测度 是非负的。

上的有界线性泛函可唯一地延拓为 上有界线性泛函,因为后一个空间是前者的闭包。但是 上一个无界正线性泛函不能延拓为 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

参考文献

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