拉普拉斯极限

拉普拉斯极限是指可以使开普勒方程的级数解收敛的最大离心率，其数值约为

0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290.

开普勒方程M = E − ε sin E，描述物体在一离心率为ε的椭圆轨道上，其平近点角M和偏近点角E之间的关系，E无法以初等函数表示，但利用拉格朗日反转定理（英语：Lagrange reversion theorem）可以得到以下的幂级数：

${\displaystyle E=M+\sin(M)\,\varepsilon +{\tfrac {1}{2}}\sin(2M)\,\varepsilon ^{2}+\left({\tfrac {3}{8}}\sin(3M)-{\tfrac {1}{8}}\sin(M)\right)\,\varepsilon ^{3}+\cdots }$

或是以下的通式^[1][2]

${\displaystyle E=M\;+\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{n}}{2^{n-1}\,n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\,{\binom {n}{k}}\,(n-2k)^{n-1}\,\sin((n-2k)\,M)}$

拉普拉斯发现此级数只在离心率较小时收敛，当离心率超过一定值时，只要M不是π的倍数，就会发散。其收敛半径即为拉普拉斯极限。

拉普拉斯极限也是函数${\displaystyle {\frac {x}{{\text{cosh}}(x)}}}$的最大值^[3]

拉普拉斯极限是以下超越方程的唯一实数解^[4]

${\displaystyle {\frac {x\exp({\sqrt {1+x^{2}}})}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}=1}$

István Mező.曾找到以r-Lambert特殊函数以及无穷级数表示的封闭形式^[5]。

历史

拉普拉斯在1827年计算的数值是0.66195。意大利天文学家弗朗切斯科·卡利尼比拉普拉斯早五年找到极限值0.66，柯西在1829年找到其精确值0.66274^[6]。

相关条目

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