初等函数

初等函数（基本函数）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 ^[1]

一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。

初等函数的全体对算术运算、复合和微分（求导）是封闭的，但对求极限、无穷级数以及积分不封闭。只有刘维尔函数（英语：Liouvillian function）（初等函数及其积分）的全体对积分才是封闭的。

此外，部分初等函数不是整函数，或者在复数域上是多值函数。

名称来源

之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”（法语：fonction élémentaire），需要从微分代数的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔引入的，但目前的通行定义是由约瑟夫·里特给出的：

一个微分域${\displaystyle F}$，定义为某一个域${\displaystyle F_{0}}$再加上一个函数对函数的映射${\displaystyle u\rightarrow f(u)}$。其中，${\displaystyle f(u)}$满足以下条件：

$${\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)}$$$${\displaystyle f(uv)=uf(v)+vf(u)}$$且该域内的任意常数${\displaystyle C}$都满足${\displaystyle f(C)=0}$。

在以上定义满足时，一个函数${\displaystyle u}$被称为${\displaystyle F}$上的初等函数，当且仅当该函数至少满足以下三者之一：

• 是${\displaystyle F}$上的代数函数；
• 是${\displaystyle F}$上的指数性函数，意即${\displaystyle f(u)=uf(a),a\in F}$；
• 是${\displaystyle F}$上的对数性函数，意即${\displaystyle f(u)={\frac {f(a)}{a}},a\in F}$。

常函数

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称${\displaystyle f(x)=C}$为常数函数，其中C为常数，它的定义域为${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$。

幂函数

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称形如${\displaystyle f(x)=Cx^{r}}$的函数为幂函数，其中C, r为常数。幂函数的定义域与r的值有关，但是不管r取何值，该函数在${\displaystyle (0,+\infty )}$上总有意义。

指数函数

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称形如${\displaystyle f(x)=a^{x}}$的函数为指数函数，其中a是常数，${\displaystyle a>0}$且${\displaystyle a\neq 1}$。该函数的定义域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，值域为${\displaystyle (0,+\infty )}$

对数函数

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称形如${\displaystyle y=\log _{a}x\!}$的函数为对数函数，其中${\displaystyle a>0}$且${\displaystyle a\neq 1}$，是指数函数${\displaystyle y=a^{x}}$的反函数。该函数定义域为${\displaystyle (0,+\infty )}$，值域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

三角函数

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正弦函数

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称形如${\displaystyle f(x)=\sin x}$的函数为正弦函数，它的定义域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，值域为${\displaystyle [-1,1]}$，最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$。

余弦函数

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称形如${\displaystyle f(x)=\cos x}$的函数为余弦函数，它的定义域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，值域为${\displaystyle [-1,1]}$，最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$。

正切函数

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称形如${\displaystyle f(x)=\tan x}$的函数为正切函数，它的定义域为${\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，最小正周期为${\displaystyle \pi }$。

余切函数

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称形如${\displaystyle f(x)=\cot x}$的函数为余切函数，它的定义域为${\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域为${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$，最小正周期为${\displaystyle \pi }$。

正割函数

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称形如${\displaystyle f(x)=\sec x}$的函数为正割函数，它的定义域为${\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域为${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}$，最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$。

余割函数

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称形如${\displaystyle f(x)=\csc x}$的函数为余割函数，它的定义域为${\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}$，值域为${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}$，最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$。

反三角函数

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其它常见初等函数

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双曲函数

双曲正弦函数：${\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$
双曲余弦函数：${\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$
双曲正切函数：${\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}$

反双曲函数

反双曲正弦函数：${\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}$
反双曲余弦函数：${\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}$

扩展阅读

• Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1]（页面存档备份，存于互联网档案馆）