初拓扑

在一般拓扑学与数学的相关领域中，给定集合${\displaystyle X}$与${\displaystyle X}$上的一族函数，其初拓扑（initial topology）是使得这一族函数连续的最粗糙拓扑。

子空间拓扑与积拓扑都是初拓扑的特例。事实上，初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构称为终拓扑。

定义

定义 — ${\displaystyle X}$ 为集合，设有一集合族 ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ 与其指标集 ${\displaystyle I}$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {Y}{\cong }}\,{\mathcal {Y}}}$

还有一族与之相对应的拓扑 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {\tau }{\cong }}\,{\mathfrak {T}}}$

${\displaystyle (\forall i\in I)\left[\tau _{i}{\text{ is a topology of }}Y_{i}\right]}$

和一函数族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ：

${\displaystyle I\,{\overset {f}{\cong }}\,{\mathcal {F}}}$

${\displaystyle (\forall i\in I)\left(f_{i}:X\to Y_{i}\right)}$

那 ${\displaystyle X}$ 上关于 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的初拓扑 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$，定义为“对所有 ${\displaystyle i\in I}$ ， ${\displaystyle f(i)}$ 为 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ - ${\displaystyle \tau _{i}}$ 连续”的最粗糙拓扑。

定理 — 若 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ 是上述定义所说， ${\displaystyle X}$ 上关于 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的初拓扑，取：

${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\left\{B\,|\,(\exists i\in I)(\exists O\in \tau _{i})[B={f_{i}}^{-1}(O)]\right\}}$

那 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑基，且 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ 就是由 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 所生成的拓扑。

证明

因为： ${\displaystyle (\forall i\in I)\{[X=f^{-1}(Y_{i})]\wedge (Y_{i}\in \tau _{i})\}}$ 所以： ${\displaystyle \left(X=\bigcup \{X\}\right)\wedge (\{X\}\subseteq {\mathcal {B}})}$ 另外对于任意${\displaystyle i\in I}$，和任意 ${\displaystyle V,W\in \tau _{i}}$ 有： ${\displaystyle {f_{i}}^{-1}(V\cap W)={f_{i}}^{-1}(V)\cap {f_{i}}^{-1}(W)}$ 这样，因为 ${\displaystyle V\cap W\in \tau _{i}}$ ，所以： ${\displaystyle {f_{i}}^{-1}(V)\cap {f_{i}}^{-1}(W)\in {\mathcal {B}}}$ 根据以上所述， ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的确是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑基。 另外，对任意 ${\displaystyle X}$ 上的拓扑 ${\displaystyle \tau }$ 来说，“对所有 ${\displaystyle i\in I}$ ， ${\displaystyle f(i)}$ 为 ${\displaystyle \tau }$ - ${\displaystyle \tau _{i}}$ 连续”等价于： “对所有 ${\displaystyle i\in I}$ ，和所有 ${\displaystyle O\in \tau _{i}}$ ， ${\displaystyle {f_{i}}^{-1}(O)\in \tau }$” 也就等价于： ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ 这样根据拓扑基的性质(1)，${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ 就是 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 所生成的拓扑，至此本定理得证。${\displaystyle \Box }$

上述拓扑基 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 里的元素通常被称为圆柱集合（英语：Cylinder set）（cylinder set）。

实例

• 子空间拓扑是在子空间上，关于包含映射的初拓扑。
• 积拓扑是关于一族投影映射的初拓扑。
• 局部凸拓扑向量空间（英语：Locally convex topological vector space）的弱拓扑（英语：Weak topology）是关于映射至其对偶空间的连续线性算子的初拓扑。

性质

特征性质

给出任意拓扑空间${\displaystyle Z}$，X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立：
从${\displaystyle Z}$到${\displaystyle X}$的映射${\displaystyle g}$是连续的，当且仅当 ${\displaystyle f_{i}\circ g}$ 是连续的。

Evaluation

从闭集分离点

称${\displaystyle f_{i}:X\rightarrow Y_{i}}$从闭集分离点，如果${\displaystyle X}$中任意闭集${\displaystyle A}$，与任意不属于${\displaystyle A}$的点${\displaystyle x}$，${\displaystyle \exists i\in I}$，使得
${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$
这里的cl是闭包算子。

关于初拓扑有如下定理：
一族连续映射从闭集分离点，当且仅当the cylinder sets构成集合${\displaystyle X}$的一个基。

从这个定理可以得到，如果${\displaystyle X}$上有一族连续映射从闭集分离点，那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的，因为初拓扑是由${\displaystyle f^{-1}(U)}$为子基生成的拓扑，在这个定理中要求the cylinder sets是集合${\displaystyle X}$的一个基。

参考资料

• Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6.
• Initial topology. PlanetMath.
• Product topology and subspace topology. PlanetMath.