招差术

招差术是中国古代数学中的多项式插值。秦九韶称为“招法”，“招差”一词为元代数学家、历法家王恂首创。元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式^[1]。

秦九韶招法

秦九韶在《数书九章》中多次使用二次插值法。

《数书九章》卷十三 《计造石坝》

术曰：以商工求之，以招法入之

《数书九章》卷三 《缀术推星》也使用自变数不等间二次内插法（招差）。^[2]。

郭守敬王恂招差术

郭守敬和王恂在《授时历》中大量使用三次内插法，他称为“招差”^[3]。王恂推广隋唐时代二次内插法（盈不足术）为三次内插法（招差术），用以计算太阳盈缩，太阴迟疾的差分，定差，平差，立差，并归纳出平立定三差计算公式。

视入历盈者，在盈初缩末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限；缩者，在缩初盈末限已下，为初限，已上，反减半岁周，余为末限。其盈初缩末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二万四千六百，又以初末限乘之，用减定差五百一十三万三千二百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒。缩初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二万二千一百，又以初末限乘之，用减定差四百八十七万六百，余再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即所求盈缩差。^[4]

• 令 a 代表定差
• 令 b 代表平差
• 令 c 代表立差
• 令 k 代表初末限

盈缩差=${\displaystyle ak-bk^{2}-ck^{3}}$^[5]。

朱世杰招差术

朱世杰《四元玉鉴》多次使用招差术。卷中《如像招数》第五问给出世界上最早的四次内插公式^[1]：

今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵，今招一十五方，每人日支钱二百五十文，问兵及支钱各几何。或问还原：依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，得数为兵。今招一十五日，每人日支钱二百五十文，问招兵及支钱几何？
答曰：兵二万三千四百人，钱二万三千四百六十二贯。
术曰求得上差二十七，二差三十七，三差二十四，下差六
求兵者，今招为上积，又今招减一为茭草底子积为二积，又今招减二为三角底子积，又今招减三为三角一积为下积。以各差乘各积，四位并之，即招兵数也。

^[6]

先求出上差（一次差），二差（二次差），三差（三次差）和下差（四次差），然后求出答案，是四次插值法（招差术）的运用^[7]

日数	支钱累计数	每日支钱	招兵累计数	上差（每日招兵数）	二差	三差	下差
1	6.75	6.75	27	27
2	29.5	22.75	91	64	37
3	83.5	54	216	125	61	24
4	191.5	108	432	216	91	30	6
5	385.25	193.75	775	343	127	36	6

招兵累计数=

${\displaystyle n*a+{\frac {1}{2*1}}*n*(n-1)*b+{\frac {1}{3*2*1}}*n*(n-1)*(n-2)*c}$

${\displaystyle +{\frac {1}{4*3*2*1}}n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*d}$^[8]。

其中

• a=上差
• b=二差
• c=三差
• d=下差

梅文鼎

清代数学家梅文鼎著有《平立定三差详说》，详解《授时历》的平定立三差法。^[9]

参考文献