换位子群

在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有换位子所生成的子群，记作 ${\displaystyle [G,G]}$、${\displaystyle G'}$ 或 ${\displaystyle G^{(1)}}$ 。任意给定群均对应一个确定的换位子群。作为群 ${\displaystyle G}$ 的正规子群，换位子群 ${\displaystyle G'}$ 是使得 ${\displaystyle G}$ 对它的商群 ${\displaystyle G/G'}$ 为交换群的最小正规子群。在某种意义上，换位子群提供了群 ${\displaystyle G}$ 的可交换程度，根据换位子的定义 ${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$， ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle y}$ 交换，即 ${\displaystyle xy=yx}$，当且仅当 ${\displaystyle [x,y]=e}$，换言之，群内可交换的元素越多，换位子就越少，换位子群也就越小。显然，交换群的换位子群为平凡群${\displaystyle \{e\}}$。

定义

给定一个群 ${\displaystyle G}$，${\displaystyle G}$ 的换位子群或导群： ${\displaystyle [G,G]}$、${\displaystyle G'}$ 或 ${\displaystyle G'}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的所有换位子所生成的子群：

${\displaystyle [G,G]=\langle g^{-1}h^{-1}gh\,|\,g,h\in G\rangle .}$

类似地可以定义高阶的导群。

${\displaystyle G^{(0)}=G}$

${\displaystyle G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}],\quad n\in \mathbb {N} _{+}}$

可以证明，如果存在自然数 ${\displaystyle n}$ 使得 ${\displaystyle G^{(n)}={e}}$ ，那么 ${\displaystyle G}$ 是可解群。

商群 ${\displaystyle G/[G,G]}$ 是阿贝尔群，叫做 ${\displaystyle G}$ 的阿贝尔化子群，通常记作 ${\displaystyle G^{\mathrm {ab} }}$。${\displaystyle G}$ 的阿贝尔化子群亦是其一阶同调群。

${\displaystyle [G,G]=G}$的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群 ${\displaystyle \{e\}}$。

性质

1. ${\displaystyle G^{\prime }}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的正规子群。
2. ${\displaystyle G'}$ 对于自同构稳定：${\displaystyle \forall \phi \in \operatorname {Aut} (G),\phi (G^{\prime })=G^{\prime }}$。
3. 如果 ${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的子群，那么 ${\displaystyle H^{\prime }\subseteq G^{\prime }}$。
4. ${\displaystyle \pi \colon G_{1}\to G_{2}}$ 是一个满同态，那么${\displaystyle \pi (G_{1}^{\prime })=G_{2}^{\prime }}$。
5. 如果 ${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的正规子群，那么 ${\displaystyle G/H}$ 是交换群当且仅当 ${\displaystyle G^{\prime }\subseteq H}$。^{[注 1]}
6. ${\displaystyle G^{\prime }\subseteq G^{\prime }}$，所以 ${\displaystyle G^{\mathrm {ab} }=G/G^{\prime }}$ 可交换。

交换子群的例子

• 4次交替群${\displaystyle A_{4}}$的交换子群是克莱因四元群${\displaystyle V_{4}}$。
• n次对称群${\displaystyle S_{n}}$的交换子群是n次交替群${\displaystyle A_{n}}$。
• 四元群Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} 的交换子群是 {1, −1}。

参见

• 群
• 交换子
• 正规子群
• 可解群
• 伽罗瓦理论

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