斜方星形二十面体

在几何学中，斜方星形二十面体（Rhombicosacron）是一种所有面皆全等的非凸多面体，由60个反平行四边形组成，^[1]其索引为DU₅₆，其对偶多面体是一种均匀多面体，由30个正方形和20个正六边形组成，称为斜方二十面体^[2]。

斜方星形二十面体

类别	均匀多面体对偶 星形多面体
对偶多面体	斜方二十面体
识别
名称	斜方星形二十面体
参考索引	DU56
性质
面	60
边	120
顶点	50
欧拉特征数	F=60, E=120, V=50 （χ=-10）
组成与布局
面的种类	60个反平行四边形
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
特性
等面、非凸
图像
斜方二十面体 （对偶多面体）

约克约克（YokYok）所设计的装置艺术《钴玛芬》（Cobalt Muffin）的外型就是基于斜方星形二十面体设计的，曾于上海愚园路展出。^[3]

性质

斜方星形二十面体由60个面、120条边和50个顶点组成^[4]，因此是一种六十面体。其欧拉示性数为−10，亏格为6。 组成斜方星形二十面体的60个面皆为全等的反平行四边形。^[5]:164 其120条边中，有60条来自反平行四边形的交叉边、60条来自反平行四边形外侧的腰，也就是说，在斜方星形二十面体中，长边（反平行四边形的交叉边）与短边（反平行四边形外侧的腰）各有60条。^[6]

二面角

斜方星形二十面体的二面角为^[6]：

${\displaystyle \cos ^{-1}(-{\frac {5}{7}})\approx 2.366399\approx 135.58469^{\circ }}$

顶点座标

如果斜方星形二十面体的几何中心位于原点且其对偶边长为1单位长，则其顶点座标为^[7]：

${\displaystyle (0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},0)}$、

${\displaystyle (0,0,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{5}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{5}},0,0)}$、

${\displaystyle (0,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{5}},0)}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {3\left(5-{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{10}},\pm {\frac {3\left(5+{\sqrt {5}}\right)}{20}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {3\left(5+{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3\left(5-{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{10}})}$、

${\displaystyle (\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{10}},\pm {\frac {3\left(5+{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3\left(5-{\sqrt {5}}\right)}{20}})}$、

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$。

面的组成

斜方星形二十面体由60个全等的反平行四边形组成，每个反平行四边形有四个角，其中两个锐角为${\displaystyle \arccos({\frac {3}{4}})\approx 41.409\,622\,109\,27^{\circ }}$，两个钝角为${\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{6}})\approx 99.594\,068\,226\,86^{\circ }}$，交叉边的交角为${\displaystyle \arccos({\frac {1}{8}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{24}})\approx 38.996\,309\,663\,87^{\circ }}$。在整个立体中，长边（反平行四边形的交叉边）与短边（反平行四边形外侧的腰）各有60条。^[6]长边和短边的比为${\displaystyle {\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}}$，恰好是黄金比例的平方。

斜方星形二十面体的面有跟其他的面相交的性质，其互相相交的部分恰好位于反平行四边形自相交的交点处。^[5]

• 
  斜方星形二十面体的其中三个面，分别以红色、蓝色和绿色表示
• 
  斜方星形二十面体之面的形状

艺术创作

约克约克（YokYok）的装置艺术《钴玛芬》（Cobalt Muffin）是一个以斜方星形二十面体为外型设计的装置艺术^[3]。其由CREATER委托约克约克设计。其设计是斜方星形二十面体的一半，由60个三角形组成。^[8]这是约克约克在中国的展示的第一个装置项目。《钴玛芬》从2019年10月1日至2020年7月1日在上海愚园路展出。^[9]

参见

• 斜方二十面体