斜汉弥尔顿矩阵

在线性代数当中，斜汉弥尔顿矩阵是一类与在辛向量空间上的反对称双线性映射相对应的矩阵。

设V为一个向量空间，在其上有着辛形式${\displaystyle \Omega }$。则如此的空间其维度必然是偶数维的。在此空间中，当“${\displaystyle x,y\mapsto \Omega (A(x),y)}$是斜对称的”这条件满足时，一个线性映射${\displaystyle A:\;V\mapsto V}$被称作对${\displaystyle \Omega }$的斜汉弥尔顿算子（skew-Hamiltonian operator）。

在V中选择适当的基${\displaystyle e_{1},...e_{2n}}$使得${\displaystyle \Omega }$可写成${\displaystyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$这样的形式，那么一个线性算子被称为是一个对${\displaystyle \Omega }$的斜汉弥尔顿算子，当且仅当当且仅当在这个基中与此算子对应的矩阵A${\displaystyle A}$满足${\displaystyle A^{T}J=JA}$这条件，而J则是一个有如下形式的反对称矩阵：

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}}$

其中I_n是${\displaystyle n\times n}$阶矩阵的单位矩阵。^[1]满足${\displaystyle A^{T}J=JA}$这条件的矩阵${\displaystyle A}$就被称为斜汉弥尔顿矩阵（skew-Hamiltonian matrix）。

一个汉弥尔顿矩阵的平方是一个斜汉弥尔顿矩阵。这反过来也成立，也就是说，任何的斜汉弥尔顿矩阵都是一个汉弥尔顿矩阵平方。^[1][2]