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汉弥尔顿矩阵

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在数学上,若一个2n矩阵A是一个汉弥尔顿矩阵,则对此矩阵而言,JA会是一个对称矩阵,而其中J这个矩阵具有以下的形式:

其中Inn阶矩阵单位矩阵。也就是说,若A是一个汉弥尔顿矩阵当且仅当(JA)T = JA,在此处()T表示矩阵的转置[1]

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性质

假设一个2n阶的矩阵A可写成如下形式的分块矩阵:

其中abcd皆为n阶矩阵,则“A是汉弥尔顿矩阵”的这条件与“bc这两个矩阵皆为对称矩阵,且a + dT = 0”的这条件等价。[1][2]另一个A是汉弥尔顿矩阵时的这条件等价的条件为“存在一个对称矩阵S,使得A = JS with S[2]:34

从转置的定义,可轻易地得知说一个汉弥尔顿矩阵的转置也是汉弥尔顿矩阵,两个汉弥尔顿矩阵的和也是弥尔顿矩阵,一个汉弥尔顿矩阵的交换子也是汉弥尔顿矩阵。由所有同阶的汉弥尔顿矩阵组成的空间形式一个李代数,记作sp(2n),而sp(2n)的维度则为2n2 + n。与这个李代数相对应的李群Sp(2n)这个辛群Sp(2n)这个群可将之视作由辛矩阵所构成的一个群,其中若一矩阵A为一辛矩阵,则它满足ATJA = J这条件。因此,一个汉弥尔顿矩阵的指数是一个辛矩阵,而一个辛矩阵的对数是一个汉弥尔顿矩阵。[2]:34–36[3]

实汉弥尔顿矩阵的特征多项式是个偶函数,因此若λ是一个汉弥尔顿矩阵的特征向量,则−λλ*−λ*也都会是该矩阵的特征向量。[2]:45而这也说明了一个汉弥尔顿矩阵的会是零。

一个汉弥尔顿矩阵的平方是一个斜汉弥尔顿矩阵(skew-Hamiltonian matrix。若一个矩阵A满足(JA)T = −JA这条件,则它是一个斜汉弥尔顿矩阵);另一方面,每个斜汉弥尔顿矩阵都是一个弥尔顿矩阵的平方。[4]

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在复矩阵上的推广

汉弥尔顿的定义可用两种方式推广到复矩阵上。一种方法是如上所述般定义说若一矩阵A满足(JA)T = JA这条件,则该矩阵是一个汉弥尔顿矩阵;[1][4]另一个方式是利用(JA)* = JA这条件,其中()*表示矩阵的共轭转置[5]

汉弥尔顿算子

V为一个向量空间,在其上有着辛形式Ω。那么当“是对称的”这条件满足时,就称线性变换是一个对Ω汉弥尔顿算子(Hamiltonian operator),也就是说它当满足下式:

若选择一个e1, …, e2n in V,使得Ω可写成这样的形式,则一个对Ω线性算子是汉弥尔顿算子,当且仅当在这个基中与此算子对应的矩阵是汉弥尔顿矩阵。[4]

参照

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