施瓦茨-米尔诺引理

施瓦茨－米尔诺（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor^[1]）引理，是数学上的一个结果，给出了群和在度量空间上的群作用的关系。阿尔伯特·施瓦茨首先发现这个结果，十数年后约翰·米尔诺重新发现。这条引理有时称为几何群论基本定理。^[2]有了这条引理，就可以由度量空间的几何性质，来研究群的性质。

定义

设X为一个度量空间。如果X每两点都有测地线相连，就称X为测地的。

如果X中每一个闭球都是紧致集，就称X为常态的。考虑X中从某点${\displaystyle x'}$量度距离的函数${\displaystyle d_{x'}:X\to [0,\infty )}$

${\displaystyle d_{x'}(x):=d_{X}(x,x')}$

那么闭球${\displaystyle {\overline {B(x',a)}}}$是紧致区间[0,a]在${\displaystyle d_{x'}}$下的原像。因此，闭球都是紧致集这个条件，便等价于所有形如${\displaystyle d_{x'}}$的距离函数都是常态映射。这就是称度量空间X为常态的原因。

一个群G在X上的群作用称为真不连续的，如果对每个紧致集${\displaystyle K\subset X}$，G中只有有限个元素g，使得${\displaystyle g\cdot K\cap K\neq \varnothing }$。这个群作用称为余紧的，如果存在一个紧致集${\displaystyle K'\subset X}$，使得${\displaystyle G\cdot K'=X}$。

引理叙述

设X为一个常态测地度量空间。如果一个群G以等距映射真不连续地、余紧地作用在X上，那么G是有限生成群。而且G中用一个有限生成集合S赋予G以字度量后，和X拟等距同构；对于X的任何一点${\displaystyle x_{0}}$，映射${\displaystyle g\mapsto g\cdot x_{0}}$都是从G到X的拟等距映射。

证明

G中任何有限生成集合所对应的字度量，都是拟等距同构。故此只需找到一个有限生成集合S，证明在G上取对应S的字度量后，和X是拟等距同构即可。

选定${\displaystyle x_{0}\in X}$。因为群作用是余紧的，存在${\displaystyle r>0}$，使得${\displaystyle B(x_{0},r)}$在G的作用下覆盖X。

取G的一个子集

${\displaystyle S=\{g\in G\setminus \{e\}|d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<2r+1\}}$

G的元素g若在子集S内，则有

${\displaystyle g\cdot {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\cap {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\neq \varnothing }$

X是常态度量空间，故${\displaystyle {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}}$是紧致集，又因群作用是真不连续的，所以这样的g仅有有限个。因此S是有限集。

对G中任何非平凡元素g，有一条测地线段连接两点${\displaystyle x_{0}}$和${\displaystyle g\cdot x_{0}}$。设k为整数，符合

${\displaystyle k\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<k+1}$

在这条测地线段上取点${\displaystyle x_{j}}$，j=1,..., k+1，满足${\displaystyle d_{X}(x_{j-1},x_{j})\leq 1}$。

对每一点${\displaystyle x_{j}}$，都存在G中的元素${\displaystyle g_{j}}$，使得${\displaystyle x_{j}\in g_{j}\cdot B(x_{0},r)}$。可指定${\displaystyle g_{0}=e}$, ${\displaystyle g_{k+1}=g}$。如果${\displaystyle g_{j-1}\neq g_{j}}$，则有${\displaystyle g_{j-1}^{-1}g_{j}\in S}$，因为

${\displaystyle {\begin{aligned}&d_{X}(x_{0},g_{j-1}^{-1}g_{j}\cdot x_{0})\\=&d_{X}(g_{j-1}\cdot x_{0},g_{j}\cdot x_{0})\\\leq &d_{X}(g_{j-1}\cdot x_{0},x_{j-1})+d_{X}(x_{j-1},x_{j})+d_{X}(x_{j},g_{j}\cdot x_{0})\\<&r+1+r=2r+1\end{aligned}}}$

由此得出g是由最多k+1个S的元素的积。因此S是G的生成集合，而且对所有g都有

${\displaystyle d_{S}(e,g)\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})+1}$

取${\displaystyle c=\max _{s\in S}d_{X}(x_{0},s\cdot x_{0})}$，用三角不等式得出

${\displaystyle d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})\leq c\ d_{S}(e,g)}$

对任何${\displaystyle g,h\in G}$，有

${\displaystyle d_{X}(g\cdot x_{0},h\cdot x_{0})=d_{X}(x_{0},g^{-1}h\cdot x_{0})}$

${\displaystyle d_{S}(g,h)=d_{S}(e,g^{-1}h)}$

故此从以上两条不等式可以得出

${\displaystyle d_{S}(g,h)-1\leq d_{X}(g\cdot x_{0},h\cdot x_{0})\leq c\ d_{S}(g,h)}$

而且X中每一点x都距离某个${\displaystyle g\cdot x_{0}}$不超过r，所以${\displaystyle g\mapsto g\cdot x_{0}}$是拟等距映射，G和X是拟等距同构。