拟等距同构

拟等距同构是数学上度量空间之间的等价关系，着重在度量空间上的粗结构，而忽略掉小尺寸上的细节。这样有如从远处观看度量空间，看到其大概，而察看不出细处的分别。

定义

设有两个度量空间${\displaystyle (X,d_{X})}$, ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$，并有（未必连续的）映射${\displaystyle f:X\to Y}$。若存在常数${\displaystyle L\geq 1}$, ${\displaystyle C\geq 0}$，使得对所有${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$，有

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Ld_{X}(x_{1},x_{2})+C}$

那么称映射 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle (L,C)}$-粗利普希茨的。这条不等式，可视为 ${\displaystyle f}$ 在长距离时差不多是 ${\displaystyle L}$-利普希茨连续的。

若对所有${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$，有

${\displaystyle {\frac {1}{L}}d_{X}(x_{1},x_{2})-C\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Ld_{X}(x_{1},x_{2})+C}$

那么称映射 ${\displaystyle f}$ 是一个 ${\displaystyle (L,C)}$-拟等距嵌入。虽然 ${\displaystyle f}$ 不一定符合平常意义上的嵌入，即f未必把两个不同的点映射到不同的点上，但是对两个相隔得足够远的点，这两点的像也是不同的。

拟等距映射有两个等价定义：

• 若${\displaystyle f:X\to Y}$是 ${\displaystyle (L,C)}$-粗利普希茨映射，且存在 ${\displaystyle (L,C)}$-粗利普希茨映射${\displaystyle g:Y\to X}$，使得对所有${\displaystyle x\in X}$，所有${\displaystyle y\in Y}$，都有

${\displaystyle d_{X}(g(f(x)),x)\leq C}$

${\displaystyle d_{Y}(f(g(y)),y)\leq C}$

那么称映射 ${\displaystyle f}$ 为 ${\displaystyle (L,C)}$-拟等距映射。这两条不等式，可视为在长距离时，${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle g}$差不多是互为逆映射。

• ${\displaystyle f}$ 是一个 ${\displaystyle (L,C)}$-拟等距嵌入，并且对任一点${\displaystyle y\in Y}$，都存在${\displaystyle x\in X}$使

${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))\leq C}$

那么称映射 ${\displaystyle f}$ 为 ${\displaystyle (L,C)}$-拟等距映射。这条不等式，是说 ${\displaystyle Y}$中每一点距离 ${\displaystyle X}$ 的像 ${\displaystyle f(X)}$ 都不超过 ${\displaystyle C}$。对这定义的 ${\displaystyle f}$，可以构造前一定义的 ${\displaystyle g}$ 如下：对每一点${\displaystyle y\in Y}$，取任一个${\displaystyle x\in X}$使得${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))\leq C}$，并令${\displaystyle g(y):=x}$。

这两个定义中的 ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle C}$值可能不同。

两个度量空间${\displaystyle (X,d_{X})}$, ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$若存在 ${\displaystyle (L,C)}$-拟等距映射${\displaystyle f}$，则${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$称为 ${\displaystyle (L,C)}$-拟等距同构。^[1]若常数 ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle C}$ 的值不要紧时，可以简单地称 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 为拟等距同构。

对度量空间 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$，如果${\displaystyle f_{1}:X\to Y}$, ${\displaystyle f_{2}:Y\to Z}$都是拟等距映射，那么${\displaystyle f_{2}\circ f_{1}:X\to Z}$也是拟等距映射。

例子

设函数${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Z} }$，以四舍五入方式，从实数映射到整数上。那么f是一个拟等距映射。按拟等距映射的定义一，可以取 ${\displaystyle L=1}$, ${\displaystyle C=1}$，而${\displaystyle g:\mathbb {Z} \to \mathbb {R} }$可用${\displaystyle g(x)=x}$。因此${\displaystyle \mathbb {R} }$和${\displaystyle \mathbb {Z} }$是拟等距同构。

对任何正整数 ${\displaystyle n}$，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$和${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$间也有类似的拟等距映射，所以${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$和${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$是拟等距同构。

任何两个有界的度量空间都是拟等距同构，在两者间的任何映射都是拟等距映射。

群论上的应用

一个有限生成群 ${\displaystyle G}$，其中任何两个有限生成集合 ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle T}$ 赋予 ${\displaystyle G}$ 两个字度量${\displaystyle d_{S}}$, ${\displaystyle d_{T}}$，那么${\displaystyle (G,d_{S})}$和${\displaystyle (G,d_{T})}$是拟等距同构。所以纵使 ${\displaystyle G}$ 可以有多种不同的字度量，但都对应同一个拟等距同构类。因此，可以定义有限生成群之间的拟等距同构关系。而一般的度量空间中的性质，凡是于拟等距映射下不变的，都可以用为有限生成群的性质。几何群论中的双曲群正是一例。

如果一个有限生成群作用于一个度量空间，并满足一些条件，根据施瓦茨－米尔诺引理，这个群和受其作用的度量空间是拟等距同构。故此可以从研究度量空间，得知群的一些性质。