明渠流

明渠流（英语：open-channel flow）是水力学的分支，是液体在管道或水路中的流动，而且液体存在自由表面^[1]，包括未全满的液体在管道中流动，则称为管流。 流体的重量是这种流体的主要驱动来源。^[2]

长江瞿塘峡，河流是明渠流的一种

流的状态

明渠流的行为是由粘滞力和重力以及流体本身的惯性所控制。表面张力有一些影响，不过在大部分的应用中，表面张力不是主要影响因素。由于流体有自由表面，明渠流中重力多半是最重要影响明渠流的因素。惯力和重力的比例就是明渠流里最重要旳无因次量^[3]，此无因次量称为福禄数 ，定义为$${\displaystyle {\text{Fr}}={U \over {\sqrt {gD}}}}$$

其中

• ${\displaystyle U}$是平均速度
• ${\displaystyle D}$是表示渠深度的特征长度
• ${\displaystyle g}$为重力加速度。

粘滞力相对惯性力的影响可以用雷诺数表示，流体可以分为层流、湍流和过渡流。不过一般会假设其雷诺数够大，流体的粘滞力可以忽略^[3]，流体本身会是湍流。

公式

可以用针对质量、动量和能量的守恒定律来描述明渠流。其统御方程可以从考虑流速向量场${\displaystyle {\bf {v}}}$（分量${\displaystyle {\bf {v}}={\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}}^{T}}$）的动态方程求得。在笛卡儿坐标系下，这些分量对应x轴、y轴和z轴的流速。

为了简化最后的公式，会进行以下的假设：

1. 流是不可压缩流（若是快速变化的流，此假设就不合适)
2. 雷诺数够大，粘滞扩散可以忽略
3. 流是沿着x轴的一维流

连续性方程式

通用的连续性方程式描述质量的守恒，其形式如下：$${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0}$$其中${\displaystyle \rho }$是流体密度，${\displaystyle \nabla \cdot ()}$是散度算子。假设不可压缩流，有固定的控制体积 ${\displaystyle V}$，方程可以表示为${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {v}}=0}$。不过，明渠流的截面${\displaystyle A}$可能会随着时间和位置而变化。若从连续性方程式的积分形开始：$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV}$$可以将体积积分分解成截面和长度，因此可以得到下式：$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx}$$在流体不可压缩、一维流的假设下，方程式可以写成：$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx}$$利用${\displaystyle \int _{A}dA=A}$并且定义体积流率 ${\displaystyle Q=\int _{A}u\;dA}$, 方程式可以简化如下：$${\displaystyle \int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx}$$最后，可以得到不可压缩、一维明渠流的方程：

${\displaystyle {\partial A \over {\partial t}}+{\partial Q \over {\partial x}}=0}$

动量方程

明渠流的动量方程可以从不可压缩的纳维-斯托克斯方程开始：$${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{Inertial Acceleration}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{Diffusion}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{Gravity}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{Forces}}\end{smallmatrix}}}$$其中${\displaystyle p}$是压强，${\displaystyle \nu }$是动黏度，${\displaystyle \Delta }$是拉普拉斯算子，而${\displaystyle \Phi =gz}$ 是重力位。配合高雷诺数以及一维流的假设，可得以下方程：$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}}$$第二个方程中有流体静压${\displaystyle p=\rho g\zeta }$，而渠深度${\displaystyle \eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)}$ 是自由表面${\displaystyle \zeta }$和渠底${\displaystyle z_{b}}$的距离。将此代入第一个方程，可得：$${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}}$$where the channel bed slope ${\displaystyle S=-dz_{b}/dx}$。若要考虑渠道上的剪应力,可以定义受力项为：$${\displaystyle F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}}$$其中${\displaystyle \tau }$为剪应力，${\displaystyle R}$为水力半径。定义摩擦斜率${\displaystyle S_{f}=\tau /\rho gR}$，是量化摩擦损失的方式，可以得到以下的动量方程式：

${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}+g(S_{f}-S)=0}$

能量方程式

若要推导能量方程式，考虑平流加速度项${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}}$可以分解如下：$${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf {v}}\|^{2}}$$其中${\displaystyle \omega }$是流的涡量，${\displaystyle \|\cdot \|}$是欧几里得范数。这可以得到一个不考虑外部力的动量方程，为：$${\displaystyle {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)}$$将方程两侧对${\displaystyle {\bf {v}}}$进行点积，可得：$${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0}$$其中有利用三重积 ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0}$。定义${\displaystyle E}$为能量密度：$${\displaystyle E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}}$$注意其中的 ${\displaystyle \Phi }$是非时变的。可以得到下式：$${\displaystyle {\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0}$$假设能量密度是非时变的，且流是一维流，可以简化如下：$${\displaystyle E+p=C}$$with ${\displaystyle C}$为常数，这和伯努利定律等效。明渠流中特别关注的是比能 ${\displaystyle e=E/\rho g}$，可以计算扬程 ${\displaystyle h}$，定义如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e+{p \over {\rho g}}\\&={u^{2} \over {2g}}+z+{p \over {\gamma }}\end{aligned}}}$

其中 ${\displaystyle \gamma =\rho g}$是比重量。不过，实际系统需加上扬程损失项 ${\displaystyle h_{f}}$，这是考虑因为摩擦力和湍流产生的能量耗散，之前因为在动量方程不考虑外力，这些被省略了。

相关条目

• 水跃
• 曼宁公式