星形正多面体

星形正多面体（开普勒-庞索特多面体）是一类非凸多面体，共有四个。它们的表面均为正多边形或星形正多边形，且每个顶点都有相同数目的边连接。

透视图	立体图	名称	施氏符号	点	边	面	X	对偶多面体	外接立体	内接立体	点群
		小星形十二面体	{5/2,5}	12	30	五角星×12	-6	大十二面体	正十二面体	正二十面体	${\displaystyle I_{h}}$群
		大十二面体	{5,5/2}	12	30	正五边形×12	-6	小星形十二面体	正二十面体	正十二面体	${\displaystyle I_{h}}$群
		大星形十二面体	{5/2,3}	20	30	五角星×12	2	大二十面体	正十二面体	正十二面体	${\displaystyle I_{h}}$群
		大二十面体	{3,5/2}	12	30	等边三角形×20	2	大星形十二面体	正二十面体	正二十面体	${\displaystyle I_{h}}$群

性质

皮特里多边形是指两个连续边都属于多面体的一个面，但三边不属多面体的面的不共面多边形。哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特证明了若正多面体${\displaystyle {p,q}}$的皮特里多边形有${\displaystyle h}$边，则有

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\pi }{p}}+\cos ^{2}{\frac {\pi }{q}}=\cos ^{2}{\frac {\pi }{h}}}$。

除了${\displaystyle p,q,h}$均为正整数时，有5组解，对应5个正多面体。当${\displaystyle p,q,h}$为正有理数时，有多4组解，分别对应4个开普勒-庞索特多面体。

历史

• 14世纪Paolo Uccello的画作出现了小星形十二面体。
• 15世纪Wenzel Jamnitzer发现小星形十二面体和大星形十二面体。
• 1619年开普勒重新发现了小星形十二面体和大星形十二面体，并将它们和正多面体连系起来。
• 1809年路易斯·庞索发现了大十二面体和大二十面体。因此这些多面体以开普勒和庞索命名。
• 1859年阿瑟·凯莱敲定了这些形状的名字。^[1]

参见

• 正多面体
• 星形多面体