普罗海特-苏-摩尔斯常数

普罗海特-苏-摩尔斯常数（Prouhet–Thue–Morse constant）是数学中的常数，符号为${\displaystyle \tau }$，得名自 欧仁·普罗海特（法语：Eugène Prouhet）、阿克塞尔·图厄及马斯顿·摩斯（英语：Marston Morse），其二进制.01101001100101101001011001101001...为苏-摩尔斯数列（英语：Thue–Morse sequence），也就是

${\displaystyle \tau =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {t_{i}}{2^{i+1}}}=0.412454033640\ldots }$

普罗海特-苏-摩尔斯常数

普罗海特-苏-摩尔斯常数
识别
种类	无理数 超越数
符号	${\displaystyle \tau }$
位数数列编号	A014571
性质
定义	${\displaystyle \tau =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {t_{i}}{2^{i+1}}}}$， 其中${\displaystyle t_{i}}$为苏-摩尔斯数列（英语：Thue–Morse sequence）中的第i个元素。
连分数	[0; 2, 2, 2, 1, 4, 3, 5, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 44, 1, 4, 1, 2, 4, 1, …]
表示方式
值	${\displaystyle \tau \approx }$0.41245403364...
二进制	0.011010011001011010010110…
十进制	0.412454033640107597783361…
十六进制	0.699696699669699696696996…

其中${\displaystyle t_{i}}$为苏-摩尔斯数列中的第i个元素。

${\displaystyle t_{i}}$的其生成级数为：

${\displaystyle \tau (x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{t_{i}}\,x^{i}={\frac {1}{1-x}}-2\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}\,x^{i}}$

可以表示为

${\displaystyle \tau (x)=\prod _{n=0}^{\infty }(1-x^{2^{n}}).}$

这是弗宾纳斯多项式（英语：Frobenius polynomial）的乘积，因此可以推广到任意的域。

普罗海特-苏-摩尔斯常数已由库尔特·马勒（英语：Kurt Mahler）在1929年证明是超越数^[1]。