月球和太阳的大小与距离 (阿里斯塔克斯)

关于依巴谷的作品，请见“太阳和月球的大小与距离 (依巴谷)（英语：On Sizes and Distances (Hipparchus)）”。

（太阳和月球的）大小与距离（古希腊语：Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης]，罗马化：Perì megethôn kaì apostēmátōn [hēlíou kaì selḗnēs]）被广泛认为是生活在公元前310–230年左右的古希腊天文学家阿里斯塔克斯所写的唯一现存作品。这件作品计算了太阳和月球的大小，以及它们与地球的距离（以地球半径为单位）。

来自公元前10世纪的希腊副本：萨摩斯的阿里斯塔克斯公元前3世纪关于太阳、地球和月球相对大小的计算。从左起，依序是太阳、地球与月球。

这本书可能是由亚历山大的帕普斯数学课程的学生保存的，然而并没有证据表明这一点。使用了亨利·萨维尔（英语：Henry Savile (Bible translator)）爵士汇编的几本中世纪手稿，约翰·沃利斯于1688年出版了初版（英语：Editio princeps）^[1]。最早的拉丁语翻译是由乔治·瓦拉（英语：Giorgio Valla）在1488年完成的。还有一个由费德里科·康曼丁那（英语：Frederico Commandino）所著的 1572年拉丁语翻译与译评版本 （页面存档备份，存于互联网档案馆）^[2][3]。

符号

这项工作的方法依赖于几个观察结果：

• 太阳和月球在天空中的表观尺寸。
• 月食期间地球阴影相对于月球的大小。
• 在弦月期间，太阳、地球和月球之间，月球位于的角度为90°

本文的其余部分详细介绍与重建了阿里斯塔克斯的方法和结果^[4]。重建使用以下变数：

符号	含意
φ	弦月期间，月球和太阳之间的角度（可直接量测）
L	地球到月球的距离
S	地球到太阳的距离
ℓ	月球的半径
s	太阳的半径
t	地球的半径
D	从地球中心到地球阴影锥顶点的距离
d	月球位置的地球阴影半径
n	比率，d/ℓ（月食期间可直接观测到的量）
x	比率， S/L = s/ℓ（根据 φ 计算）

弦月

阿里斯塔克斯的前提是，在弦月期间，月球与太阳和地球形成直角三角形。通过观测太阳和月亮之间的角度 φ，可以使用三角学的形式推导出太阳和月球的距离比。

根据图表和三角函数，我们可以计算出

${\displaystyle {\frac {S}{L}}={\frac {1}{\cos \varphi }}=\sec \varphi .}$

该图被大大夸大了，S = 390 L，和 φ 非常接近90°。阿里斯塔克斯将 φ 确定为小于直角的三十分之一（现代术语为3°）：在当前术语中为87°。三角函数尚未发明，但阿里斯塔克斯使用欧几里德风格的几何分析确定

${\displaystyle 18<{\frac {S}{L}}<20.}$

换句话说，到太阳的距离大约是到月球距离的18到20倍。在接下来的两千年里，天文学家接受了这个值（或接近它的值），直到望远镜的发明允许对太阳视差进行更精确的估计。

阿里斯塔克斯还认为，由于太阳和月球的角度大小是相同的，但到太阳的距离是月球的18到20倍，因此太阳必须大18-20倍。

月食

阿里斯塔克斯随后使用了另一种基于月食的构造：

通过三角形的相似性${\displaystyle {\frac {D}{L}}={\frac {t}{t-d}}\quad }$，和 ${\displaystyle \quad {\frac {D}{S}}={\frac {t}{s-t}}.}$

将这两个方程式分开，并利用太阳和月球对地球上的人来说大小相同的观测结果${\displaystyle s/S=\ell /L}$，产生

${\displaystyle {\frac {\ell }{s}}={\frac {t-d}{s-t}}\ \ \implies \ \ {\frac {s-t}{s}}={\frac {t-d}{\ell }}\ \ \implies \ \ {\frac {t}{\ell }}+{\frac {t}{s}}=1+{\frac {d}{\ell }}.}$

最右边的方程可以求解为${\displaystyle \ell /t}$或${\displaystyle s/t}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\dfrac {\ell }{s}}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\dfrac {s}{\ell }}}{1+{\dfrac {d}{\ell }}}}.}$

通过表示长度，可以使这些方程看起来更简单${\displaystyle d}$和 ${\displaystyle s}$就月球的半径而言${\displaystyle \ell }$作为一个单位，定义${\displaystyle {\hat {d}}=d/\ell }$ and ${\displaystyle {\hat {s}}=s/\ell .}$那么

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{{\hat {s}}(1+{\hat {d}})}},\qquad {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\hat {s}}}{1+{\hat {d}}}}}$

上述方程完全以可观量测的形式给出了月球和太阳的半径。

以下公式以地球单位给出了到太阳和月球的距离：

${\displaystyle {\frac {L}{t}}=\left({\frac {\ell }{t}}\right)\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S}{t}}={\biggl (}{\frac {s}{t}}{\biggr )}\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

其中 θ 是月球和太阳的视半径，单位为度。

阿里斯塔克斯没有使用这些精确的公式，但这些公式可能很好地近似了阿里斯塔克斯的公式。

结果

上述公式可用于重建阿里斯塔克斯的结果。下表显示了长期（但可疑）的重建 结果，使用n = 2, x = 19.1 (φ = 87°) 和 θ = 1°，与现代公认的物质一起呈现。

数量	关系	重建	现代
s/t	太阳半径与地球半径之比	6.7	109
t/ℓ	地球半径与月球半径之比	2.85	3.67
L/t	地球半径的地月距离	20	60.34
S/t	地球半径的日地距离	380	23,481

^{[来源请求]}

此计算中的错误主要来自 x 和 θ。θ 的糟糕值尤其令人惊讶，因为阿基米德写道，阿里斯塔克斯是第一个确定太阳和月球表观直径为半度的人。这将给出一个值：θ = 0.25，以及月球的对应距离为80个地球半径，这是一个更好的估计。这项工作与阿基米德的分歧似乎是由于它采用了阿里斯塔克斯的说法，即日月直径是黄道带“梅罗斯”（希腊语：meros）的1/15，意味着黄道宫宽度（30°）的1/15；或者是后者的“部分”或7°1/2，和后者的数量为1/15也就是1°/2，与阿基米德的证词一致。

关于大小和距离 (依巴谷)（英语：類似程式）也被依巴谷使用，他估计到月球的平均距离为67个地球半径，而托勒密则用59个地球半径来计算这个值。

插图

在这里可以找到以“一个尺寸”命题的一些互动式插图：

• Hypothesis 4 （页面存档备份，存于互联网档案馆）当月球在我们看来是弦月时，它与太阳的距离小于一个象限的三十分之一[也就是说，它小于90°乘以90°的1/30或3°，因此等于87°]（Heath 1913:353）。
• Proposition 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）指出两个相等的球体由同一个圆柱体组成，两个不相等的球体则由顶点在较小球体方向上的同一个圆锥体组成；穿过球体中心的直线与圆柱体或圆锥体表面接触球体的每个圆成直角（Heath 1913:354）。
• Proposition 2 （页面存档备份，存于互联网档案馆）指出，如果一个球体被一个大于其自身的球体照亮，则前一个球体的被照亮部分将大于一个半球（Heath 1913:358）。
• Proposition 3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）指出，当包含太阳和月亮的圆锥体的顶点位于我们的眼睛时，月球上划分黑暗和明亮部分的圆圈最小（Heath 1913:362）。
• Proposition 4指出，月球上划分黑暗和明亮部分的圆圈与月球上的大圆没有明显区别（Heath 1913:365）。
• Proposition 6指出，月球移动的轨道比太阳低，当它成弦月时，离太阳不到一个象限（Heath 1913:372）。
• Proposition 7 （页面存档备份，存于互联网档案馆）指出，太阳与地球的距离是月球与地球距离的18倍以上，但不到20倍（Heath 1913:377）。换句话说，太阳的距离和宽度是月球的18到20倍。

已知副本

• 于美国国会图书馆的梵蒂冈展览区。

相关条目

• 埃拉托斯特尼 (约276 —约194/195 BC)：希腊数学家，他计算了地球的周长以及从地球到太阳的距离。
• 依巴谷 (约190 —约120 BC)：希腊数学家，他量测了太阳和月球的半径以及它们与地球的距离。
• 波希多尼 (约135 —约51 BC)：希腊天文学家和数学家，他计算了地球的周长。