有效域

在数学的一个分支——凸分析中，有效域是对定义域的扩展。

定义

给定一个向量空间X，则一个映射到广义实数域的凸函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ 的有效域 被定义为：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)<+\infty \}}$。^[1][2]

对于凹函数，其有效域为：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)>-\infty \}}$。^[1]

有效域的一个等价说法是上镜图的投影，即：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:\exists y\in \mathbb {R} :(x,y)\in \operatorname {epi} f\}}$。^[3]

注意，如果一个凸函数映射到一般的实数域，即 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$，则其有效域等价于一般的定义域。

函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ 被称作是真凸函数，当且仅当f 是凸的, f的有效域非空，且对于任意 ${\displaystyle x\in X}$ 有 ${\displaystyle f(x)>-\infty }$。^[3]