热门问题
时间线
聊天
视角

凸分析

来自维基百科,自由的百科全书

凸分析
Remove ads

凸分析是研究凸函数凸集性质的数学分支,其应用称作凸优化,是最优化理论的子分支。

Thumb
3维凸多面体。凸分析不仅包括欧氏空间凸子集的研究,还包含抽象空间上凸函数的研究。

凸集

向量空间X的子集,若满足下列任意一条等价条件,就称其是的(convex):

  1. 是实数,,则[1]
  2. 是实数,
Thumb
区间上的凸函数

始终是以扩展实数线为值域、以某向量空间的凸子集定义域的映射。 映射,若

(凸性

对所有实数、所有都成立,称映射f凸函数。若此不等式被替换为严格不等式

(凸性

f仍成立,则称f严格凸的。[1] 凸函数与凸集有关。特别地,当且仅当函数f上图(epigraph)

Thumb
当且仅当函数(黑色)的上图(即函数图像上方区域,绿色)是凸集时,函数是凸的。
Thumb
二元凸函数的图像

是凸集时,函数f是凸的。[2]扩展实值函数的上图在凸分析中的作用类似于实值函数图像实分析中的作用。特别地,扩展实值函数的上图提供了几何直觉,可用于形式化或证明猜想。

函数的定义域记作有效域则是集合[2]

函数,当且仅当,称函数是真凸函数[2]这意味着在f的定义域中存在x使f也永远不等于。换句话说,若函数的定义域非空、永远不取、不等于,则就是真凸函数。若真凸函数,则存在向量、实数使得

其中表示向量的点积

Remove ads

凸共轭

扩展实值函数(不必凸)的凸共轭是来自X的(连续)对偶空间函数[3]

其中,括号表示规范对偶性f的双共轭是映射,定义为X上的Y值函数记作,则定义的映射乘坐勒让德-芬切尔变换。

Remove ads

次微分集与芬切尔-扬不等式

,则次微分集(subdifferential set)为

例如,在X上的范数这一重要特例中,可以证明[proof 1]

,则此定义可简化为:

这就是芬切尔-扬不等式,当且仅当时是等式。正是通过这种方式,次微分集与凸共轭直接相关。

Remove ads

双共轭

函数的双共轭是共轭的共轭,一般写作。双共轭有助于显示强对偶弱对偶何时成立(通过扰动函数)。

不等式符合芬切尔-扬不等式。对紧合(proper)的函数当且仅当f是凸的下半连续函数时,芬切尔–莫罗定理)。[3][4]

Remove ads

凸最小化

凸最小化(主)问题形如

给定凸函数与凸子集,求
Remove ads

对偶问题

优化理论中,对偶原则(duality principle)指出,优化问题可以从两个角度分别视作主问题与对偶问题。

一般来说,给定一对分离的局部凸空间,以及函数,可以把主问题定义为求x使得

可令(其中I示性函数)将约束嵌入f。那么让扰动函数,使得[5]

关于所选扰动函数的对偶问题由下式给出:

其中F两个变量的凸共轭。

对偶间隙是不等式左右两式的差[6][5][7]

此原理同弱对偶。若两侧相等,则问题满足强对偶。 强对偶成立的条件有很多,如

  • ,其中F是连接主问题与对偶问题的扰动函数F的双共轭;[来源请求]
  • 主问题是线性规划问题;
  • 凸优化问题的斯莱特条件[8][9]
Remove ads

拉格朗日对偶性

对不等式约束的凸最小化问题,

subject to ,其中

其拉格朗日对偶问题是

subject to ,其中

其中目标函数是如下定义的拉格朗日对偶函数:

Remove ads

另见

  • 凸性 (经济学)
    • 非凸 (经济学)

注释

参考文献

Loading content...

外部链接

参考资料

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads