李维常数

李维常数（英语：Lévy's constant，有时被称作辛钦–李维常数，英语：Khinchin-Lévy's constant）是和连分数分母的渐近收敛特性有关的一个常数^[1]。在1935年时苏俄的数学家亚历山大·辛钦证明^[2]几乎所有实数的分母连分数q_n的渐近特性都满足下式：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{q_{n}}^{1/n}=\gamma }$

其中的常数γ在1936年由法国数学家保罗·皮埃尔·莱维求得为^[3]：

${\displaystyle \gamma =e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.275822918721811159787681882\ldots .}$（OEIS数列A086702）

李维常数有时会指${\displaystyle \pi ^{2}/(12\ln 2)}$（上述常数的自然对数，以β表示），数值约为1.1865691104...。β的数值源自连续分母比例对数的渐进期望值，用Gauss-Kuzmin distribution（英语：Gauss-Kuzmin distribution）求得。此比例的渐进密度函数为^{[来源请求]}

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z(z+1)\ln(2)}}}$

在${\displaystyle z\geq 1}$时，其他情形则为零。因此李维常数β为

${\displaystyle \beta =\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln z}{z(z+1)\ln 2}}dz=\int _{0}^{1}{\frac {\ln z^{-1}}{(z+1)\ln 2}}dz={\frac {\pi ^{2}}{12\ln 2}}}$.

李维常数的常用对数约为0.51532941...，是布洛赫定理极限倒数的一半。

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