杜芬振子

杜芬振子（英语：Duffing oscillator）是一个描写受驱振动的振动子，由非线性微分方程表示^[1]

受驱的杜芬方程的庞加莱截面表明混沌行为。

杜芬方程列式如下：

${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+2\gamma {\frac {dx(t)}{dt}}+\alpha *x(t)+\beta *x(t)^{3}=\delta *cos(\omega *t)}$

其中

• γ控制阻尼度
• α控制韧度
• β控制动力的非线性度
• δ驱动力的振幅
• ω驱动力的圆频率

数值解

杜芬方程没有解析解，但可用龙格－库塔法求得数值解。

当γ>0，杜芬振子呈现极限环振动；

Duffing oscillator limit cycle

Duffing oscillator limit cycle phase animation

当γ<0，系统进入混沌态，相图呈吸引子形态。

Duffing oscillator chaos

Duffing oscillator attractors animation