条件期望

在概率论中，条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望。换句话说，这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望。它也被称为条件期望或条件均值。

条件期望的概念在柯尔莫哥洛夫的测度理论概率论的定义很重要。条件概率的概念是由条件期望来定义的。

计算

设${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是离散随机变量，则${\displaystyle X}$在给定事件${\displaystyle Y=y}$条件时的条件期望是${\displaystyle x}$的在${\displaystyle Y}$的值域的函数

${\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}},}$

其中，${\displaystyle {\mathcal {X}}}$是处于${\displaystyle X}$的值域。

如果现在${\displaystyle X}$是一个连续随机变量，而${\displaystyle Y}$仍然是一个离散变量，条件期望是：

${\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X}(x|Y=y)dx}$

其中，${\displaystyle f_{X}(\,\cdot \,|Y=y)}$是在给定${\displaystyle Y=y}$下${\displaystyle X}$的条件概率密度函数。

正式的定义

给定${\displaystyle X}$是一个定义在概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},P)}$上的随机变量，${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}_{0}}$是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的一个子σ-代数，且${\displaystyle E|X|<\infty }$。 则定义${\displaystyle X}$在给定${\displaystyle {\mathcal {F}}}$下的条件期望${\displaystyle E(X|{\mathcal {F}})}$是满足以下两个条件的随机变量${\displaystyle Y}$：

1. ${\displaystyle Y}$是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上的可测函数；
2. ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {F}}:\int _{A}XdP=\int _{A}YdP}$。

在这一定义下，${\displaystyle E(X|{\mathcal {F}})}$是存在且在几乎必然的意义下唯一的。^[1]

条件概率的定义

参看

• 全概率公式
• 全期望公式
• 联合分布