正则坐标

在经典力学里，正则坐标是相空间的一种坐标。正则坐标很自然的出现于哈密顿力学的研究。正如同哈密顿力学的被辛几何广义化，正则变换也被切触变换广义化。如此在经典力学里，正则坐标的19世纪定义也被广义化，成为更抽象地以余切丛为基础的20世纪定义。

定义

在哈密顿力学里，正则坐标 ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\,\!}$ 必须满足哈密顿方程：

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}\,\!}$ ，

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\,\!}$ 是哈密顿量、${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!}$ 是广义坐标、${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!}$ 是广义动量。

特性

正则坐标满足基本帕松括号关系：

${\displaystyle [q_{i},q_{j}]_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=0\,\!}$ ，

${\displaystyle [p_{i},p_{j}]_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=0\,\!}$ ，

${\displaystyle [q_{i},p_{j}]_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\delta _{ij}\,\!}$ 。

正则坐标可以用勒让德变换从拉格朗日形式论的广义坐标求得；也可以用正则变换从另外一组正则坐标求得。

相关条目

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