比例论

在数学中，一个等比关系（proportion）或比例式，指的是两个比例（proportionality 或 ratio）的相等关系，记为 ${\displaystyle a:b=c:d}$ ；亦即，${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$。比例论（theory of proportion）是研究比例与等比关系的理论。

历史

毕达哥拉斯学派的比例论

毕达哥拉斯学派发现了不可通约数（无理数）${\displaystyle {\sqrt[{}]{2}}}$，这破坏了他们的比例论^[1]：

如果两个物体的比例是相同的，以数学式来表示，是一个等比关系 ${\displaystyle a:b=c:d}$。其中，${\displaystyle a,b,c,d}$ 是正整数。而且，存在一个正整数 ${\displaystyle n}$ 使得 ${\displaystyle a=nc}$ 与 ${\displaystyle b=nd}$。

无理数的存在，表示物体的比例可能无法以正整数来表示，这破坏了他们以正整数来描述自然规律的哲学。

尤得塞斯的比例论

为了挽救比例论，尤得塞斯提出了以几何量为基础的比例论，被欧几里得收录在《几何原本》的第五册中。其中的第五条定义是其比例论的核心：

${\displaystyle a:b=c:d}$ 当且仅当底下三个等式关系成立：

${\displaystyle ma<nb\implies mc<nd}$

${\displaystyle ma=nb\implies mc=nd}$

${\displaystyle ma>nb\implies mc>nd}$

其中 ${\displaystyle m,n}$ 为正整数（几何量的整倍数）。

这个定义回避了数系的规范，因此，即使 ${\displaystyle a,b,c,d}$ 是无理数，等比关系也可以成立。