比值审敛法

比值审敛法（Ratio test）是判别级数敛散性的一种方法，又称为达朗贝尔判别法（D'Alembert's test）^[1]。

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
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查 论 编

定理

比值审敛法判断流程表

设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$为一级数，如果

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=\rho }$，

• 当ρ<1时级数绝对收敛
• 当ρ>1时级数发散
• 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

证明

如果${\displaystyle \rho <1}$，那么存在一个实数${\displaystyle r}$以及一个正整数${\displaystyle N}$，满足${\displaystyle \rho <r<1}$，使得当${\displaystyle n>N}$时，总有${\displaystyle |a_{n+1}|<r|a_{n}|}$成立；因此在上述条件下，当${\displaystyle k}$为正整数时有${\displaystyle |a_{n+k}|<r^{k}|a_{n}|}$，于是根据无穷等比数列求和得出下式绝对收敛：

${\displaystyle \sum _{k=N+1}^{\infty }|a_{k}|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{N+k}|<|a_{N}|\sum _{k=1}^{\infty }r^{k}={\frac {|a_{N}|\cdot r}{1-r}}<\infty }$

如果${\displaystyle \rho >1}$，那么同样存在一个正整数${\displaystyle N}$，使得当${\displaystyle n>N}$时，总有${\displaystyle |a_{n+1}|>|a_{n}|}$，求和项的极限不为零，于是级数发散。

而当${\displaystyle \rho =1}$时，以${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$与${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$为例，结果同样为${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1}$，但前者发散而后者收敛（后者收敛值为${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$），该例子可以用比较审敛法来审敛。

例子

收敛

考虑级数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\cdot {\frac {1}{e}}\right|\\&=1\cdot {\frac {1}{e}}={\frac {1}{e}}<1.\end{aligned}}}$

因此该级数收敛。

发散

考虑级数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$	=${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|}$
	=${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|}$
	=${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|}$
	=${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right|}$
	=${\displaystyle 1\cdot e}$
	=${\displaystyle \!\,e(>1)}$

因此该级数发散。

不能确定

级数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}$

发散，但

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.}$

而级数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

收敛，但

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.}$

参见

• 根值审敛法
• 比较审敛法
• 拉比判别法