比较审敛法

比较审敛法（Direct comparison test）是一种判定级数是否收敛的方法。

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
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查 论 编

定理

设两个级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$，且${\displaystyle |u_{n}|\leq v_{n}(n=1,2,3,...)}$：

如果级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$收敛，则级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$收敛；

设两个级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$，且${\displaystyle v_{n}\leq u_{n}(n=1,2,3,...)}$：

如果级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$发散，则级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$发散。

证明

证明1

设${\displaystyle \sigma _{k}=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n},s_{k}=\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$当${\displaystyle u_{n}\leq v_{n}}$时，则有${\displaystyle \sigma _{k}\leq s_{k}}$：

当级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$收敛时，数列${\displaystyle s_{k}}$有界，从而数列${\displaystyle \sigma _{k}}$有界，所以级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$收敛；

当级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$发散时，数列${\displaystyle \sigma _{k}}$无界，从而数列${\displaystyle s_{k}}$无界，所以级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}}$发散。

证明2

设有级数${\displaystyle \sum a_{n}}$与${\displaystyle \sum b_{n}}$，其中${\displaystyle \sum b_{n}}$绝对收敛（${\displaystyle \sum |b_{n}|}$收敛）。不失一般性地假设对于任何正整数n，都满足${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$。考虑它们的部分和${\displaystyle S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\dots +|a_{n}|,T_{n}=|b_{1}|+|b_{2}|+\dots +|b_{n}|.}$由于${\displaystyle \sum b_{n}}$绝对收敛，存在实数T，使得${\displaystyle \lim _{n\to \infty }T_{n}=T}$成立。

对于任意n，都有${\displaystyle 0\leq S_{n}=|a_{1}|+|a_{2}|+\ldots +|a_{n}|\leq |a_{1}|+\ldots +|a_{n}|+|b_{n+1}|+\ldots =S_{n}+(T-T_{n})\leq T.}$ (因满足${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$)

由于${\displaystyle S_{n}}$为单调不下降序列，${\displaystyle S_{n}+(T-T_{n})}$为单调不上升序列(随着n上升，属于${\displaystyle |a_{n}|}$的便多过属于${\displaystyle |b_{n}|}$)，给定${\displaystyle m,n>N}$，${\displaystyle S_{n},S_{m}}$都属于闭区间${\displaystyle [S_{N},S_{N}+(T-T_{N})]}$，当N趋向无穷大时，这个区间的长度${\displaystyle T-T_{n}}$趋向于0。这表明${\displaystyle (S_{n})_{n=1,2,\ldots }}$是一个柯西序列，因此收敛于一个极限值。因此${\displaystyle \sum a_{n}}$绝对收敛。

参见

• 审敛法
• 比值审敛法
• 根值审敛法
• 交错级数审敛法