特征方程式

特征方程式（characteristic equation）或辅助方程式（auxiliary equation）^[1]为数学名词，是对应n阶微分方程^[2]或递推关系式^[3][4]的n次（英语：Degree of a polynomial）代数方程式。只有线性齐次常系数的微分方程或差分方程才有特征方程式^[1]。考虑一微分方程，其因变量为 ${\displaystyle y}$，${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\cdots ,a_{1},a_{0}}$为常数

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,}$

提示：此条目的主题不是特征多项式。

其特征方程式如下

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

根据其解 ${\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}}$可以产生微分方程的通解^[1][5][6]。而一个线性差分方程

${\displaystyle y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}}$

也有其特征方程式

${\displaystyle r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,}$

特征方程式的根也可以提供动态方程的特性信息。若是一个自变量为时间的微分方程，其因变量稳定的充份必要条件是每一个根的实部都是负值。若是差分方程，稳定的充份必要条件是每一个根的绝对值都小于1。针对这两种系统，若是有复数根，表示其解会振荡。

线性常系数常微分方程的积分求解法是由莱昂哈德·欧拉发现，他也发现了其解的特性和代数的“特征方程”有关^[2]。后来法国科学家奥古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及欧拉的特征方程，而且提到不少细节^[2][6]。

推导

考虑常系数的线性齐次微分方程 ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\cdots ,a_{1},a_{0}}$,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0}$

假设 ${\displaystyle y(x)=e^{rx}}$，而指数函数 ${\displaystyle e^{rx}}$ 的导数是本身的倍数，${\displaystyle y'=re^{rx}}$, ${\displaystyle y''=r^{2}e^{rx}}$，${\displaystyle y^{(n)}=r^{n}e^{rx}}$。因此上式中的每一项都会是 ${\displaystyle e^{rx}}$ 的倍数。若 ${\displaystyle r}$ 为特定值，可以让 ${\displaystyle e^{rx}}$ 的倍数变为0，这样即可求解齐次微分方程^[5]。为了求解 ${\displaystyle r}$，可以将 ${\displaystyle y=e^{rx}}$ 及其导数替换到微分方程中，可以得到

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0}$。

因为 ${\displaystyle e^{rx}}$ 不会为零，因此其系数必须为零，可以得到以下的特征方程式

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

求解特征方程式中的 ${\displaystyle r}$，可以求得微分方程的通解^[1][6]。例如，若 ${\displaystyle r}$ 为3，其通解为 ${\displaystyle y(x)=ce^{3x}}$，其中 ${\displaystyle c}$ 为积分常数。

有关通解的公式

找到特征方程式的根 ${\displaystyle r_{1},\cdots ,r_{n}}$，就可以找到微分方程的通解。特征方程式的根可能是实数或复数，可能都是不同的值，也可能会有相同的值（重根）。若特征方程式的根有相异的实根，另外有 ${\displaystyle h}$ 个重根，或是 ${\displaystyle k}$ 个复数的根，其解分别为${\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)}$ , ${\displaystyle y_{\mathrm {R} _{1}}(x),\cdots ,y_{\mathrm {R} _{h}}(x)}$ 及 ${\displaystyle y_{\mathrm {C} _{1}}(x),\cdots ,y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}$，因此通解为

${\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}$

例子

以下是常系数的线性齐次微分方程

${\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}$

其特征方程为

${\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}$

将特征方程因式分解，可得到

${\displaystyle (r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0}$

可以看到 ${\displaystyle r}$ 的解有一个单根，${\displaystyle r_{1}=3}$ 以及重根的复根 ${\displaystyle r_{2,3,4,5}=-1\pm i}$，因此其通解为

${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}$

其中有常数 ${\displaystyle c_{1},\cdots ,c_{5}}$。

相异实根

根据应用在常系数线性齐次微分方程的叠加原理，若 ${\displaystyle u_{1},\cdots ,u_{n}}$是特定微分方程的 ${\displaystyle n}$ 个线性无关的解，则 ${\displaystyle c_{1}u_{1}+\cdots +c_{n}u_{n}}$ 也是其解，其中 ${\displaystyle c_{1},\cdots ,c_{n}}$ 为任意常数^[1][7]。因此，若特征方程有相异实根 ${\displaystyle r_{1},\cdots ,r_{n}}$，则通解为

${\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}}$。

重根实根

若特征方程式中有重复 ${\displaystyle k}$ 次的根 ${\displaystyle r_{1}}$，可以确定 ${\displaystyle y_{\mathrm {p} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}}$ 会是微分方程的解，不过这个解没有针对其他 ${\displaystyle k-1}$ 的根提供线性无关的解。因为 ${\displaystyle r_{1}}$ 为 ${\displaystyle k}$ 次重根，可以将微分方程改写为^[1]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0}$.

因为 ${\displaystyle y_{\mathrm {p} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}}$ 为其中的一个解，因此可以令通解为以下的形式 ${\displaystyle y(x)=u(x)e^{r_{1}x}}$，其中 ${\displaystyle u(x)}$ 是待确认的函数。将 ${\displaystyle ue^{r_{1}x}}$ 代入后可得

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}$

其中 ${\displaystyle k=1}$。上述的式子应用 ${\displaystyle k}$ 次，可以得到

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0}$

除以 ${\displaystyle e^{r_{1}x}}$ 后可得

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0}$

上述式子当且仅当 ${\displaystyle u(x)}$ 是 ${\displaystyle k-1}$ 次的多项式，因此 ${\displaystyle u(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\cdots +c_{k}x^{k-1}}$.^[6]。因为 ${\displaystyle y(x)=ue^{r_{1}x}}$，因此通解中对应 ${\displaystyle r_{1}}$ 的解会是

${\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)}$

复根

若二阶微分方程有共轭复数根 ${\displaystyle r_{1}=a+bi}$ 及 ${\displaystyle r_{2}=a-bi}$，其对应的通解为 ${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}}$。利用欧拉公式（${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$），可以将通解改写如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}$

其中 ${\displaystyle c_{1}}$ 和 ${\displaystyle c_{2}}$ 是系数，不过可能不是实数，而且随初始条件而不同^[6]（因为 ${\displaystyle y(x)}$ 是实数，${\displaystyle c_{1}-c_{2}}$ 需要是虚数或是零，${\displaystyle c_{1}+c_{2}}$ 为实数，为了要让等号右边为实数）

例如，若 ${\displaystyle c_{1}=c_{2}={\frac {1}{2}}}$，可以得到特解 ${\displaystyle y_{1}(x)=e^{ax}\cos bx}$，另外，若 ${\displaystyle c_{1}={\frac {1}{2i}}}$ 及 ${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{2i}}}$，可以得到另一个独立的解 ${\displaystyle y_{2}(x)=e^{ax}\sin bx}$。利用重叠原则，有 ${\displaystyle r=a\pm bi}$ 复根的常系数线性齐次微分方程，其通解如下：

${\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx\right)}$

上述的分析也可以应用在高阶微分方程，其特征方程式中也可能有非实数的共轭根。