矩阵单元

在线性代数中，矩阵单元是一个矩阵，其中只有一个元素为1，其余元素为0。^[1][2]1位于第i行第j列的矩阵单元以${\displaystyle E_{ij}}$表示。例如，i = 1，j = 2的3 × 3矩阵单元为 $${\displaystyle E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

提示：此条目的主题不是单位矩阵。

性质

${\displaystyle m\times n}$矩阵单元的集合是${\displaystyle m\times n}$矩阵空间的基。^[2]

两个形状相同（${\displaystyle n\times n}$）的矩阵单元的积满足关系 $${\displaystyle E_{ij}E_{kl}=\delta _{jk}E_{il},}$$，其中${\displaystyle \delta _{jk}}$是克罗内克δ函数。^[2]

在环R上${\displaystyle n\times n}$标量矩阵的群是在R上${\displaystyle n\times n}$矩阵集合中${\displaystyle n\times n}$矩阵单元子集的中心化子。^[2]

它与另一个矩阵相乘时，它会孤立任意一行或列。例如，对于任何3 × 3矩阵A：^[3]

${\displaystyle E_{23}A=\left[{\begin{matrix}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matrix}}\right].}$

${\displaystyle AE_{23}=\left[{\begin{matrix}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matrix}}\right].}$