经典力学方程列表

经典力学或牛顿力学，是物理学描述宏观物体运动的分支^[1]是最熟悉的物理学理论。涵盖如常用和已知的加速度和力^[2]。本列表基于具固定轴的三维欧几里得空间参考系。三轴的交点称为此空间的原点^[3]。

经典力学概念包括微分方程、流形、李群和遍历理论。各种物理量相互关联^[4]。本列表总结了其中最重要的内容。

本文列出了经典力学的方程：“经典力学方程列表”（list of equations in classical mechanics）。其他有关经典力学（包括拉格朗日力学和哈密顿力学）的更基础原理与公式，请参阅分析力学。

经典力学

质量与惯量

通用名	通用符号	定义	国际单位制	量纲
线/表面/体积质量密度	λ或μ用于线密度（μ主要用在声学），σ用于表面，ρ用于体积。	${\displaystyle m=\int \lambda \,\mathrm {d} \ell }$ ${\displaystyle m=\iint \sigma \,\mathrm {d} S}$ ${\displaystyle m=\iiint \rho \,\mathrm {d} V}$	kg m−n, n = 1, 2, 3	M L−n
质量矩[5]	m （没有通用符号）	点质量： $${\displaystyle \mathbf {m} =\mathbf {r} m}$$ 相对固定轴${\displaystyle x_{i}}$的离散质量： $${\displaystyle \mathbf {m} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{i}m_{i}}$$ 相对固定轴${\displaystyle x_{i}}$的连续质量： $${\displaystyle \mathbf {m} =\int \rho \left(\mathbf {r} \right)x_{i}\mathrm {d} \mathbf {r} }$$	kg m	M L
质心	rcom （符号不一定）	第i个质量 ${\displaystyle \mathbf {m} _{i}=\mathbf {r} _{i}m_{i}}$ 离散质量： $${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {m} _{i}}$$ 连续质量： $${\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\int \mathrm {d} \mathbf {m} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \,\mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho \,\mathrm {d} V}$$	m	L
二体约化质量	m12, μ= m1 and m2	${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$	kg	M
转动惯量（MOI）	I	离散质量： $${\displaystyle I=\sum _{i}\mathbf {m} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\left|\mathbf {r} _{i}\right|^{2}m}$$ 连续质量： $${\displaystyle I=\int \left|\mathbf {r} \right|^{2}\mathrm {d} m=\int \mathbf {r} \cdot \mathrm {d} \mathbf {m} =\int \left|\mathbf {r} \right|^{2}\rho \,\mathrm {d} V}$$	kg m2	M L2

导出的运动学物理量

经典粒子的运动学物理量：质量m、位置r、速度v、加速度a

通用名	通用符号	定义	国际单位制	量纲
速度	v	${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$	m s−1	L T−1
加速度	a	${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}}$	m s−2	L T−2
加加速度	j	${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}}$	m s−3	L T−3
Jounce（英语：Jounce）	s	${\displaystyle \mathbf {s} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{4}}}}$	m s−4	L T−4
角速度	ω	${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$	rad s−1	T−1
角加速度	α	${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}}$	rad s−2	T−2
角加加速度	ζ	${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {\mathrm {d} ^{3}\theta }{\mathrm {d} t^{3}}}}$	rad s−3	T−3

导出的动力学物理量

经典力学下物质的角动量。

左： 固有的自旋角动量S是物体每一点的轨道角动量

右： 对应一个轴的外在轨道角动量L

上：转动惯量 I以及角速度ω（L不一定会和ω平行）^[6]

下：动量p以及其相对于轴的位置r

。总角动量（spin + orbital）为J

通用名	通用符号	定义	国际单位制	量纲
动量	p	${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$	kg m s−1	M L T−1
力	F	${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {p} /\mathrm {d} t}$	N = kg m s−2	M L T−2
冲量	J, Δp, I	${\displaystyle \mathbf {J} =\Delta \mathbf {p} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t}$	kg m s−1	M L T−1
相对一点r0的角动量	L, J, S	${\displaystyle \mathbf {L} =\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {p} }$ 若各质点的旋转轴均相交在同一点，可以设定r0 = 0。	kg m2 s−1	M L2 T−1
力相对一点r0的力矩	τ, M	${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$	N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
角冲量	ΔL （没有通用符号）	${\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {\tau }}\,\mathrm {d} t}$	kg m2 s−1	M L2 T−1

一般能量定义

主条目：机械能

通用名	通用符号	定义	国际单位制	量纲
合力产生的功	W	${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$	J = N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
力学系统所作的功	WON, WBY	${\displaystyle \Delta W_{\mathrm {ON} }=-\Delta W_{\mathrm {BY} }}$	J = N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
势能	φ, Φ, U, V, Ep	${\displaystyle \Delta W=-\Delta V}$	J = N m = kg m2 s−2	M L2 T−2
机械功率	P	${\displaystyle P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}}$	W = J s−1	M L2 T−3

每一个保守力都有对应的势能。根据以下二个原理，可以设定势能U的值：

• 保守力为零的时候，势能也定义为零。
• 保守力作功时，势能减少。

广义力学

主条目：分析力学、拉格朗日力学和哈密顿力学

通用名	通用符号	定义	国际单位制	量纲
广义座标	q, Q		不一定	不一定
广义速度	${\displaystyle {\dot {q}},{\dot {Q}}}$	${\displaystyle {\dot {q}}\equiv \mathrm {d} q/\mathrm {d} t}$	不一定	不一定
广义动量	p, P	${\displaystyle p=\partial L/\partial {\dot {q}}}$	不一定	不一定
拉格朗日量	L	${\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {\dot {q}} )-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$ 其中${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (t)}$以及 p = p(t) 分别是广义座标以及动量的向量，是时间的函数。	J	M L2 T−2
哈密顿量	H	${\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}$	J	M L2 T−2
作用量，哈密顿主函数	S, ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}$	${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\mathrm {d} t}$	J s	M L2 T−1

运动学

在以下转动的定义中，角度是对应转动轴的位意角度。一般常用θ，不过不一定要是极座标下的极角。单位轴向量

$${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$

定义转动轴${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}}$为r方向上的单位向量，${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$是和角呈切线的单位向量。

	平移	转动
速度	平均： $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {average} }={\Delta \mathbf {r} \over \Delta t}}$$ 瞬时： $${\displaystyle \mathbf {v} ={d\mathbf {r} \over dt}}$$	角速度$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}}$$转动刚体：$${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$$
加速度	平均： $${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}}$$ 瞬时： $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$$	角加速度 $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\omega }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}}$$ 转动刚体： $${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} }$$
加加速度	平均： $${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {a} }{\Delta t}}}$$ 瞬时： $${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}}$$	角加加速度 $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\alpha }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\omega }{{\rm {d}}t^{2}}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{3}\theta }{{\rm {d}}t^{3}}}}$$ 转动刚体： $${\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\zeta }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {a} }$$

动力学

	平移	转动
动量	$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$ 针对转动刚体： $${\displaystyle \mathbf {p} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {m} }$$	角动量 $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$$ 此外积为赝矢量，若r和p都反向（变号），L不会变号。 一般来说，I是二维张量，·表示张量缩并（英语：tensor contraction）。
力和牛顿第二运动定律	作用在系统质心上的合力，等于动量的变化率： $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}}\\&=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}\\\end{aligned}}}$$ 针对许多质点的系统，质点i的运动方程式为：[7] $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}}$$ 其中pi是第i个质点的动量，Fij，是粒子j作用在粒子i上的力，FE是合外力（来自系统以外的物体）。粒子i不会产生给自身的力。	力矩 力矩（torque）τ也称为moment of a force，是转动系统中对应力的物理量：[8] $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}}$$ 若是刚体，牛顿第二转动定律的形式类似平移运动下的形式： $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}\\&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {I} }{{\rm {d}}t}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\\\end{aligned}}}$$ 若针对许多质点，质点i的运动方程为：[7] $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}}$$
Yank	Yank是力的变化率： $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} &={\frac {d\mathbf {F} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {p} }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(m\mathbf {v} )}{dt^{2}}}\\[1ex]&=m\mathbf {j} +\mathbf {2a} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}+\mathbf {v} {\frac {{\rm {d^{2}}}m}{{\rm {d}}t^{2}}}\end{aligned}}}$$ 若是固定质量，会变成下式： $${\displaystyle \mathbf {Y} =m\mathbf {j} }$$	Rotatum（英语：Rotatum） Rotatum Ρ也称为moment of a Yank，因为是是转动系统中对应Yank的物理量： $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {P} }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\tau }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {Y} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }})}{{\rm {d}}t}}}$$
冲量	冲量是动量的变化： $${\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\int \mathbf {F} \,dt}$$ 针对固定力F： $${\displaystyle \Delta \mathbf {p} =\mathbf {F} \Delta t}$$	Twirl或是角冲量是角动量的变化： $${\displaystyle \Delta \mathbf {L} =\int {\boldsymbol {\tau }}\,dt}$$ 针对固定力矩τ： $${\displaystyle \Delta \mathbf {L} ={\boldsymbol {\tau }}\Delta t}$$

进动

陀螺的进动角速度为：

$${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}}$$

其中w是自旋物体的重量。

能量

系统以外事物对系统所作的机械功等于系统的动能变化：

通用功—能定理（平移及转动）

系统以外事物，对曲线路径C上的质点产生力F（在 r的位置）以及力矩τ，所做成的功W为：

$${\displaystyle W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} \,{\mathrm {d} \theta }\right)}$$

其中θ是相对单位向量n所定义轴的转动角度。

动能

物体一开始的速度为${\displaystyle v_{0}}$，后来的速度为${\displaystyle v}$，其动能变化为： $${\displaystyle \Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})}$$

弹性势能

遵守胡克定律的弹簧，若一端固定，拉长后，其弹性势能为

$${\displaystyle \Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}}$$

其中r₂和r₁是弹簧未固定端，在拉长后以及拉长前的共线座标，方向是往拉长／压缩的方向，k是弹簧常数。

刚体运动的欧拉方程

主条目：欧拉方程 (刚体运动)

莱昂哈德·欧拉也像牛顿一様，发表了运动定律，可以参见欧拉运动定律。这些定律将牛顿运动定律扩展到刚体的运动上，不过本质是相同的。以下是欧拉提出新的运动方程式^[7]：

$${\displaystyle \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}}$$

其中I是转动惯量张量.

通用平面运动

参见：极坐标系 § 向量微积分

前面平面运动的方程可以用在此处，应用上述的定义即可推出动量、角动量等。针对在平面上路径移动的物体。

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}}$$

以下的结果可应用在质点上。

运动学	动力学
位置 $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r,\theta ,t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}}$$
速度 $${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$	动量 $${\displaystyle \mathbf {p} =m\left(\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }\right)}$$ 角动量 $${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \left(\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }\right)}$$
加速度 $${\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{{\rm {d}}t}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$	向心力为 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\bot }=-m\omega ^{2}R\mathbf {\hat {e}} _{r}=-\omega ^{2}\mathbf {m} }$$ 其中的m是质量矩（mass moment），科里奥利力为 $${\displaystyle \mathbf {F} _{c}=2\omega m{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}t}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }=2\omega mv\mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$ 科里奥利加速度以及科里奥利也可以写成： $${\displaystyle \mathbf {F} _{c}=m\mathbf {a} _{c}=-2m{\boldsymbol {\omega \times v}}}$$

连心力运动

针对质量较大的物体，而且因为其他物体所施加的连心力而运动，连心力只和二物体质心的距离有关，其运动方程为：

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )}$$

定加速度运动方程

仅当加速度恒定时才能使用这些方程式。如果加速度会变化，则必须使用上面的一般微积分学方程，透过积分位置、速度和加速度的定义来找到（见上文） 。

线性运动	旋转运动
${\displaystyle \mathbf {v-v_{0}} =\mathbf {a} t}$	${\displaystyle \omega -\omega _{0}=\alpha t}$
${\displaystyle \mathbf {x-x_{0}} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {v_{0}+v} )t}$	${\displaystyle \theta -\theta _{0}={\tfrac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega )t}$
${\displaystyle \mathbf {x-x_{0}} =\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}}$	${\displaystyle \theta -\theta _{0}=\omega _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}}$
${\displaystyle \mathbf {x} _{n^{th}}=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} (n-{\tfrac {1}{2}})}$	${\displaystyle \theta _{n^{th}}=\omega _{0}+\alpha (n-{\tfrac {1}{2}})}$
${\displaystyle v^{2}-v_{0}^{2}=2\mathbf {a(x-x_{0})} }$	${\displaystyle \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}=2\alpha (\theta -\theta _{0})}$

参见：直线运动 § 与旋转运动的比较

伽利略座标系变换

在古典（伽利略-牛顿）力学里，将物理定律从一个惯性或加速（包括旋转）坐标系（参考坐标系是以定速移动，其中包括零速）变换到另一个坐标系的变换即为伽利略变换。

以下标示r, v, a 的物理量是在坐标系F的位置、速度、加速度物理量，而标示r’, v’, a’ 的物理量是在以相对坐标系F移动速度V或是角速度Ω的坐标系F’的的位置、速度、加速度物理量。相对的，F是以相反的速度(—V or —Ω) 相对于F'移动。此情形类似相对加速度。

运动方式	惯性坐标系	加速坐标系
移动 V = 两个惯性坐标系F和F'之间的相对定速度 A = 两个加速坐标系F和F'之间的相对（变）加速度	相对位置 $${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\mathbf {V} t}$$ 相对速度 $${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} +\mathbf {V} }$$ 等效加速度 $${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} }$$	相对加速度 $${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} +\mathbf {A} }$$ 假想力 $${\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} -\mathbf {F} _{\mathrm {app} }}$$
转动 Ω = 两个惯性坐标系F和F'之间的相对定角速度 Λ = 两个加速坐标系F和F'之间的相对（变）角加速度	相对角位置 $${\displaystyle \theta '=\theta +\Omega t}$$ 相对速度 $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\Omega }}}$$ 等效加速度 $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}}$$	相对加速度 $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\Lambda }}}$$ 假想力矩 $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}'={\boldsymbol {\tau }}-{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {app} }}$$
	将向量T转换到旋转座标系 $${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} '}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} }{{\rm {d}}t}}-{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {T} }$$

机械谐振子

运动方程

物理情况	术语	平移方程	角方程
简谐运动 （SHM）	x = 横向位移 θ = 角位移 A =横向振幅 Θ = 角振幅	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}x}$$ 解： $${\displaystyle x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)}$$	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}\theta }$$ 解： $${\displaystyle \theta =\Theta \sin \left(\omega t+\phi \right)}$$
非受迫阻尼振动	b = 阻尼常数 κ = 扭转常数	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}x=0}$$ 解（见下文ω）： $${\displaystyle x=Ae^{-bt/2m}\cos \left(\omega '\right)}$$ 谐振频率： $${\displaystyle \omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {b}{4m}}\right)^{2}}}}$$ 阻尼率： $${\displaystyle \gamma =b/m}$$ 激发的预期寿命（Expected lifetime of excitation）： $${\displaystyle \tau =1/\gamma }$$	$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}\theta =0}$$ 解： $${\displaystyle \theta =\Theta e^{-\kappa t/2m}\cos \left(\omega \right)}$$ 谐振频率： $${\displaystyle \omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {\kappa }{4m}}\right)^{2}}}}$$ 阻尼率： $${\displaystyle \gamma =\kappa /m}$$ 激发的预期寿命（Expected lifetime of excitation）： $${\displaystyle \tau =1/\gamma }$$

角频率

物理情况	术语	方程
线性无阻尼非受迫简谐振子	k = 弹簧常数 m = 钟摆质量	${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$
线性非受迫阻尼谐振子	k = 弹簧常数 b = 阻尼系数	${\displaystyle \omega '={\sqrt {{\frac {k}{m}}-\left({\frac {b}{2m}}\right)^{2}}}}$
低振幅角简谐振子	I = 相对摆动轴转动惯量 κ = 扭转常数	${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}}$
低振幅单摆	L = 摆锤长度 g = 重力加速度 Θ = 角振幅	近似值 $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}}$$ 精确值可以表示成： $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\prod _{n=1}^{k}\left(2n-1\right)}{\prod _{n=1}^{m}\left(2n\right)}}\sin ^{2n}\Theta \right]}$$

机械振荡的能量

物理情况	术语	方程
简谐运动能量	T = 动能 U = 势能 E = 总能量	势能： $${\displaystyle U={\frac {m}{2}}\left(x\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\cos ^{2}(\omega t+\phi )}$$ 在x = A处的最大值： $${\displaystyle U_{\mathrm {max} }{\frac {m}{2}}\left(\omega A\right)^{2}}$$ 动能： $${\displaystyle T={\frac {\omega ^{2}m}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\sin ^{2}\left(\omega t+\phi \right)}$$ 总能量： $${\displaystyle E=T+U}$$
阻尼谐振子能源		${\displaystyle E={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}e^{-bt/m}}$

相关条目

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• 核物理及粒子物理方程列表（英语：List of equations in nuclear and particle physics）