维格纳准概率分布

维格纳准概率分布 (又称维格纳方程式或是Wigner–Ville distribution)是个准概率分布. 1932年，Eugene winger利用维格纳准概率分布开始研究将古典统计力学用量子修正来解释的方法^[1]。目标是连接出现在薛丁格方程式里的波函数至机率分布里的相空间.

参见维格纳分布.

在给定的量子力学波函数ψ(x)，维格纳准概率分布是所有空间自相关函数的一个母函数.因此1927时，赫尔曼·外尔 ^[2]提出在量子机率密度函数，它扮演真实相空间函数及厄密特运算子的映射^[3]角色。事实上，它是密度矩阵中的维格纳-魏尔变换，用来实现在相空间中的运算子。后来由让威乐在1948年重新推导成为信号的本地时频能量的二次表示法，可以有效的作为频谱图。

在1949年，何塞·恩里克·莫雅尔认可它作为量子动量生成函数^[4]，因此在相空间里，变成所有量子期望值和量子力学的一种优雅编码的基础，(比较时频分析转换关系)。它应用在统计力学，量子化学，量子光学，经典光学和信号分析，在不同的领域，如电子工程，地震，时频分析，音乐信号，在生物学和语音处理谱图，和发动机设计。

关于经典力学

一个经典的粒子具有确定的位置和动量，因此它是由相空间中的点表示。 在刘维尔密度中，发现粒子在相空间中特定位置的概率是由一个机率分布决定。然而由于不确定性原理，这种严格的解释未能阐述量子粒子。相反地，准概率维格纳分布扮演一个类似的角色，虽然并不满足所有传统机率分布特性但满足古典分布不能使用有界的特性。

例如，维格纳分布通常可分析负的状态，是量子波干涉方便的指标。透过一个尺寸大于ħ的滤波器(例如，用一个相空间高斯，一个魏尔斯特拉斯函数转换来得到Husimi表示式如下)可以平滑化维格纳分布，创造一个正半定的功能。^[5]

负值的区域可以被证实是小的，这些区域不能延伸到紧凑区域以外几个ħ，所以根据经典极限论'消失。由于不确定性原理不允许 相空间区域小于ħ内精确位置，因此反应"负的机率"少一点的自相矛盾。

定义与意义

维格纳分布P(x,p)定义如下:

${\displaystyle P(x,p)~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy\,}$

其中ψ为波函数，x和p为位置和动量但也可以是任何共轭变量对（即电场的信号的或频率和时间的实部和虚部）。

也可以写成，

${\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (p-q)e^{-2ixq/\hbar }\,dq}$

φ为ψ的傅立叶转换.

在3D里，

${\displaystyle P({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}({\vec {r}}+\hbar {\vec {s}}/2)\psi ({\vec {r}}-\hbar {\vec {s}}/2)e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}}\,d^{3}s.}$

一般情况下密度矩阵的维格纳分布，包含混合态，

${\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle x+y|{\hat {\rho }}|x-y\rangle e^{-2ipy/\hbar }\,dy,}$

其中⟨x|ψ⟩ = ψ(x).这个维格纳转换是魏尔变换的反转换，它映射相空间方程式至希尔伯特空间。

因此，维格纳函数是量子力学在相空间的基石。

1949年何塞·恩里克·莫雅尔阐明维格纳分布是如何提供相空间的整合测量(类似于一个概率密度分布)，让相空间方程式的期望值g(x,p)能够由魏尔转换(即魏尔变换和以下的性值七)以古典概率论的方法唯一的和运算子Ĝ产生关联。

特别地，Ĝ的期望值是维格纳变换的"相空间平均"，如下

${\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int \!dx\,dp~P(x,p)~g(x,p)~.}$

数学性质

Figure 1: The Wigner quasiprobability distribution for a) the vacuum b) An n = 1 Fock state (e.g. a single photon) c) An n = 5 Fock state.

1. P(x, p)是实数

2. x 和p的概率分布由边缘决定：

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .}$如果系统是纯态，则${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=|\psi (x)|^{2}}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,P(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle }$. 如果系统是纯态，则${\displaystyle \int _{\infty }^{\infty }dx\,P(x,p)=|\varphi (p)|^{2}}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)=Tr({\hat {\rho }})}$
• 通常密度矩阵ρ̂的秩为1

3. P(x, p)有以下的反射对称性：

• 时间对称性：${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x)^{*}\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x,-p)}$
• 空间对称性：${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (-x)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(-x,-p)}$

4. P(x, p)是伽利莱协变：

• ${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi (x+y)\Rightarrow P(x,p)\rightarrow P(x+y,p)}$
• 不是劳伦兹协变性

5. 如果没有外力作用，在相位空间中每个点的运动方程式符合经典力学：

• ${\displaystyle {\frac {\partial P(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial P(x,p)}{\partial x}}}$

事实上如果外力是谐波也满足

6. 状态重叠的计算公式：

• ${\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,P_{\psi }(x,p)P_{\theta }(x,p)}$

7. 期望值运算子被认为是维格那变换的相空间平均：

• ${\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle x-y/2|{\hat {G}}|x+y/2\rangle e^{ipy/\hbar },}$
• ${\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =Tr({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dpP(x,p)g(x,p).}$

8. 为了使P(x, p)代表物理(正)密度矩阵：

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,P(x,p)P_{\theta }(x,p)\geq 0~,}$

9. 利用柯西- Schwarz不等式，对于纯的状态，它被限制为有界，

• ${\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq P(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.}$

维格纳演进方程式

Figure 2: Wigner function for the simple harmonic oscillator ground state, displaced from the origin of phase space (i.e., a coherent state). (Click to animate.) Note the rigid rotation, identical to classical motion: this is a special feature of the SHO. From the general pedagogy web-site.^[6]

对于希伯特空间的运算子Ĝ和相空间的g(x,p)而言，维格纳变换是一般的反转换，如下：

${\displaystyle g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds~e^{ips/\hbar }\langle x-{\frac {s}{2}}|\ {\hat {G}}\ |x+{\frac {s}{2}}\rangle .}$

厄密特运算子映射至实域。它的反转换被称为魏尔转换，

${\displaystyle \langle x|\ {\hat {G}}\ |y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{dp \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({x+y \over 2},p\right),}$

交叉项问题

虽然维格纳准机率分布具有好的时频聚集性，但是，对于多分量的讯号，会出现所谓的”交叉项”，是一种”虚假讯号”，这是维格纳准机率分部的一大缺陷。

交叉项是因为多个分量的讯号中不同讯号之间的交叉作用，而在时频分部中，交叉项一般会有震荡的现象，并且导致讯号的时频特征模糊。

因此，如何有效的抑制交叉项，对时频分析来说是个重要的议题。^[7]。

维格纳分布的其他用途

Figure 7: A contour plot of the Wigner–Ville distribution for a chirped pulse of light. The plot makes it obvious that the frequency is a linear function of time.

• 在光学系统像是望远镜或光纤通讯设备中的设计，维格纳方程式被用来桥接简单光线追迹和系统的全波分析之间的差距。在这方面，维格纳方程式是最好的方法能描述系统中的光线位置x 及角度θ且包含干扰的影响。
• 在信号分析中，维格纳方程式能表示随时间变换的电信号，机械震动或是声波。这里，x取代时间，p/ħ取代角频率ω = 2πf。
• 在超快光学，短激光脉冲具有维格纳方程式的特性，参数和上一行一样。参见图七。