维费里希素数

若素数${\displaystyle p^{2}|2^{p-1}-1}$，则称为维费里希素数（Wieferich prime）。它最先在1909年阿图尔·维费里希（Arthur Wieferich）有关费马大定理的作品描述。

1909年，维费里希证明：${\displaystyle x,y,z}$是整数同时${\displaystyle p}$是素数使得${\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0}$，并且${\displaystyle p\nmid xyz}$，那么${\displaystyle p}$就是维费里希素数。

1910年Mirimanoff扩展这个定理，证明了若${\displaystyle p}$符合上面的条件，${\displaystyle p|3^{p-1}}$。

梅森数${\displaystyle M_{q}=2^{q}-1}$的素因数${\displaystyle p}$是维费里希素数当且仅当${\displaystyle p^{2}|2^{q}-1}$，显然，梅森素数不可能是维费里希素数。

寻找

现时已知的维费里希素数只有1093和3511（OEIS:A001220），由W. Meissner在1913年和N. G. W. H. Beeger在1922年各自发现。若有更大的存在，它必须大于${\displaystyle 1.25\times 10^{15}}$ [1]^{[永久失效链接]}。虽然1988年J. H. Silverman证明若abc猜想成立，对于任何正整数${\displaystyle a>1}$，存在无限个素数${\displaystyle p}$使得${\displaystyle p^{2}\nmid a^{p-1}-1}$；但“维费里希素数的数量有限”这个猜想仍未证实。

参见

• 沃尔-孙-孙素数
• 沃尔斯滕霍尔姆素数
• 威尔逊素数
• “同余”列表（英语：Table of congruence）