abc猜想

abc猜想（英语：abc conjecture）是一个未解决的数学猜想，最先由约瑟夫·奥斯特莱及大卫·马瑟在1985年提出。abc猜想以三个互质正整数a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大学数理解析研究所望月新一教授于2012年提出论文证明，经过8年同行审查后于2020年4月发表，但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC项目“ABC@Home”。

abc猜想若得证，数论中很多著名猜想可以立时得出。多利安·哥德费尔德称abc猜想为“丢番图分析中最重要的未解问题”。(Goldfeld 1996)

内容

对正整数${\displaystyle n}$，${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$表示${\displaystyle n}$的质因数的积，称为${\displaystyle n}$的根基（radical）。例如

rad(16) = rad(2⁴) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

若正整数a, b, c 彼此互质，且a + b=c，“通常”会有c < rad(abc)，例如：

${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=7}$, ${\displaystyle c=9}$：${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=42>c}$。

${\displaystyle a=9}$, ${\displaystyle b=16}$, ${\displaystyle c=25}$：${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30>c}$。

但是也有反例，例如：

${\displaystyle a=3}$, ${\displaystyle b=125}$, ${\displaystyle c=128}$：因为${\displaystyle 125=5^{3}}$，${\displaystyle 128=2^{7}}$，故此${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30<c}$。

如上有多于一个整数可被小的质数的高次幂整除，使rad(abc) < c，是较特殊的情况。ABC@Home计划目的在寻找更多这样的例子。

abc猜想（一）

对于任何${\displaystyle \varepsilon >0}$，只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }}$

abc猜想也有以下等价的表述方式：

abc猜想（二）

对于任何${\displaystyle \varepsilon >0}$，存在常数${\displaystyle C_{\varepsilon }>0}$，使得对于互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，有：

${\displaystyle c<C_{\varepsilon }\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon },}$

abc猜想第三个表述方式，用到了三元组(a, b, c)的品质（quality），定义为：

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}}$

例如：

• q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
• q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互质正整数的三元组，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大于1的情况较少出现。

abc猜想（三）

对于任何${\displaystyle \varepsilon >0}$，只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得

${\displaystyle q(a,b,c)>1+\epsilon }$

abc猜想中的ε不能去掉，不然命题就不成立。考虑以下例子：

${\displaystyle a_{n}=3^{2^{n}}-1}$, ${\displaystyle b_{n}=1}$, ${\displaystyle c_{n}=3^{2^{n}}}$

这三个正整数互质，且有${\displaystyle a_{n}+b_{n}=c_{n}}$。注意到${\displaystyle a_{n}}$可被${\displaystyle 2^{n+2}}$整除，因此有

${\displaystyle \operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}}$:

因此

${\displaystyle c_{n}>a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})}$

当n趋向无限大时，${\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{3}}}$也趋向无限大。因此不存在常数C，使得 c < C rad(abc)对所有适合条件的三元组都成立。

可得出的结果

如果abc猜想得证，那么有很多结果可以推导出来。其中一些结果，在abc猜想提出后，已经以其他方法得到证明，一些则仍然为猜想。

• Thue–Siegel–Roth定理（英语：Thue–Siegel–Roth theorem）
• 费马大定理对所有足够大指数的情形（安德鲁·怀尔斯已证一般情形） (Granville 2002) harv模板错误: 无指向目标: CITEREFGranville2002 (帮助)
• Mordell猜想（格尔德·法尔廷斯已证一般情形）(Elkies 1991)
• Erdős–Woods猜想（英语：Erdős–Woods conjecture），除了有限多的反例。(Langevin 1993)
• 存在无限多非维费里希素数(Silverman 1988)
• Marshall Hall猜想（英语：Marshall Hall's conjecture）的弱形式(Nitaj 1996)
• 费马－卡塔兰猜想(Pomerance 2008)
• 用勒让德符号构成的L函数L(s, χ_d)没有西格尔零点（需要abc猜想在代数数域上的一致形式，不只在有理整数上。）(Granville 2000) harv模板错误: 无指向目标: CITEREFGranville2000 (帮助)
• 对有至少3个简单零点的多项式P(x)，在整数x取的所有值中，只有有限个次方数。^[1]
• Tijdeman定理（英语：Tijdeman's theorem）的推广形式，关于y^m = xⁿ + k的解的个数（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，关于Ay^m = Bxⁿ + k的解的个数。
• 等价于Granville–Langevin 猜想^[2][3]
• 等价于修改后的Szpiro猜想（英语：Szpiro's conjecture）(Oesterlé 1988)
• Brocard问题（英语：Brocard's problem）n! + A= k²，对任何给定的整数A，都只有有限个解。(Dąbrowski 1996)

理论结果

abc猜想导出c有abc的根基的接近线性函数的上界；不过，现在已知的是指数上界。确切结果如下：

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$ (Stewart & Tijdeman 1986),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$ (Stewart & Yu 1991),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon }\right)}}$ (Stewart & Yu 2001).

上述的上界中，K₁是不依赖a, b, c的常数，而K₂和K₃是（以可有效计算的方式）依赖于ε的常数，但不依赖于a, b, c。上述的上界对c > 2的三元组都成立。

计算结果

2006年，荷兰的莱顿大学数学系与Kennislink科学研究所合作，开展ABC@Home计划。这个计划是网格计算系统，目的在找出更多的正整数三元组a, b, c使得rad(abc) < c。虽然有无限个例子或反例不能解决abc猜想，但是期望借着这个计划发现的三元组的模式，可以得出对这个猜想以至于数论的新的洞见。

下述的q是上节定义的品质。

符合q > 1的三元组分布^[4]

	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 102	6	4	4	2	0	0
c < 103	31	17	14	8	3	1
c < 104	120	74	50	22	8	3
c < 105	418	240	152	51	13	6
c < 106	1,268	667	379	102	29	11
c < 107	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 108	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 109	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 1010	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 1011	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 1012	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 1013	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 1014	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 1015	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 1016	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 1017	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 1018	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

截至2014年4月 (2014-04)^[update]，ABC@Home找出 2380 万个三元组，现今目标在找出c不大于2⁶³的所有三元组(a,b,c)。^[5]

已知之中最高品质的三元组^[6]

	q	a	b	c	发现者
1	1.6299	2	310·109	235	Eric Reyssat
2	1.6260	112	32·56·73	221·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·292·318	28·322·54	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	511·132	28·38·173	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·37	54·7	Benne de Weger

历史

1996年，艾伦·贝克（Alan Baker）提出一个较为精确的猜想，将${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$用${\displaystyle \varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)}$取代，在此${\displaystyle \omega }$是${\displaystyle a,b,c}$的不同质因数的数目。

2007年，吕西安·施皮罗尝试给出证明，后来被发现有错误。^[7]

2012年8月，日本京都大学数学家望月新一发表长约五百页的abc猜想的证明，以他建立的宇宙际泰赫米勒理论（inter-universal Teichmüller theory）为基础^[8][9][10]。该证明目前正由其他数学专家检查中。^[11]当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果^[12]。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，当中很多也是打字错误^[13]。望月新一在网上公开了2013年^[14]以及2014年^[15]的检验进度报告。2018年8月，皮特·舒尔策和Jakob Stix（英语：Jakob Stix）指出，望月新一的证明论文中 Corollary 3.12 证明结尾的一行推理存在无法修复的缺陷。^[16]望月认为二者的批评存在“某种根本上的误解”。^[17]

参见

• 根基
• Mason-Stothers定理—多项式环上的对应定理

参考文献