总变差去噪

总变差去噪（英语：Total Variation Denoising）是讯号处理中一种常见的降噪方法，于1992年由L. I. Rudin、S. Osher（英语：Stanley Osher）和E. Fatemi提出，因此亦称为ROF模型^[1]。一个含有噪声的讯号相较于其未受噪声影响的讯号，会有较大的总变差值，即其梯度绝对值的总和较大。因此若能找到一个与原始讯号相似且总变差较小的讯号，即可作为原始讯号的降噪结果。此算法可以在去除噪声的同时保留边缘，即使在低讯号噪声比的情况下，依然能有效的去噪和保留边缘。

总变差

参见：总变差

总变差为一函数其数值变化的总和。可表示为其微分后取绝对值再积分的结果。

一维连续函数

若一函数${\displaystyle y=f(x)}$为一维连续可微函数，其在区间${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$之总变差定义为

${\displaystyle TV_{a}^{b}(y)=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx}$,

其中${\displaystyle f'(x)}$为${\displaystyle f(x)}$的一次微分。

当${\displaystyle f(x)}$不可微分时，其总变差由一般性的定义给出:

${\displaystyle TV_{a}^{b}(y)=\sup _{\mathcal {P}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|}$,

其中${\displaystyle {\mathcal {P}}}$为区间${\displaystyle [a,b]}$中所有可能的分割，即${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}|P{\text{ is a partition of }}[a,b]\right\}}$。

一维离散函数

若一函数${\displaystyle y=f(x)}$为一维离散函数，则其总变差定义为

${\displaystyle TV(y)=\sum _{n}|f(x_{n+1})-f(x_{n})|}$.

即差分后取绝对值再加总的结果。

一维讯号去噪

设输入的观察讯号为${\displaystyle x}$，对${\displaystyle x}$去噪得到的讯号为${\displaystyle y}$。我们可以透过解最佳化问题来从${\displaystyle x}$得到${\displaystyle y}$。当以总变差去噪法对讯号进行去噪时，最佳化问题应满足以下两个条件:

• ${\displaystyle x}$与${\displaystyle y}$相似，以保留讯号整体的结构性
• ${\displaystyle y}$的总变差不大，以降低噪声

在数学上，两个讯号的相似度可以以两者差的${\displaystyle L_{2}}$-范数表示，即

${\displaystyle E(x,y)={\frac {1}{2}}\left\|x-y\right\|_{2}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{n}(x_{n}-y_{n})^{2}}$,

其中${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{2}}$即为${\displaystyle L_{2}}$-范数，而${\displaystyle x_{n},y_{n}}$为讯号的取样点。

借由上述数学表达式，总变差去噪法的最佳化问题可以写成

${\displaystyle \min _{y}E(x,y)+\lambda TV(y)}$.

即利用最小平方法，并以总方差作为正规化的正规项，以求得去噪结果。其中${\displaystyle \lambda }$为正规化参数，用于调整正规项的重要程度。

由于${\displaystyle E(x,y)}$和${\displaystyle TV(y)}$皆为凸函数，因此一维总变差去噪的最佳化为一凸优化问题^[2]，有许多凸优化算法可以求解，且其解必为全局最佳值。

影像去噪

影像为二维离散讯号，在ROF模型中定义的总变差为

${\displaystyle TV(y)=\sum _{m,n}\left\|\nabla y_{m,n}\right\|_{2}=\sum _{m,n}{\sqrt {|y_{m+1,n}-y_{m,n}|^{2}+|y_{m,n+1}-y_{m,n}|^{2}}}}$,

其中${\displaystyle \nabla }$为梯度运算子。

然而该定义不可微分，做为最佳化问题的正规项时不易求解。因此也有${\displaystyle L_{1}}$-范数形式的二维总变差

${\displaystyle TV(y)=\sum _{m,n}\left\|\nabla y_{m,n}\right\|_{1}=\sum _{m,n}(|y_{m+1,n}-y_{m,n}|+|y_{m,n+1}-y_{m,n}|)}$.

最佳化问题的形式与解一维讯号形式相同

${\displaystyle \min _{y}E(x,y)+\lambda TV(y)}$.

然而二维讯号的最佳化问题不一定为凸优化问题，因此无法以常见凸优化算法求解。目前发展能求解的算法有原始-对偶算法（英语：Wikipedia:primal-dual method）^[3]、交替方向乘子法(ADMM)^[4]、布雷格曼方法（英语：Wikipedia:Bregman method）^[5]等等。

其他变形

高阶微分

总变差的概念为先微分取绝对值后再积分。因此在一些文献中^[6]有使用到二阶微分以上的例子。 当处理讯号为离散讯号时，二阶差分的形式如下

${\displaystyle f''(x_{n})=f(x_{n-1})-2f(x_{n})+f(x_{n+1})}$

因此使用二阶差分的总变差可定义为

${\displaystyle TV^{(2)}(y)=\sum _{n}|f''(x_{n})|}$

而最佳化问题的形式为

${\displaystyle \min _{y}E(x,y)+\lambda _{1}TV(y)+\lambda _{2}TV^{(2)}(y)}$

双边总变差去噪

双边总变差(bilateral total variation)是2004年由S.Farisu和D.Robinson提出的最佳化正规项^[7]。该正规项基于总变差，结合双边滤波器的概念而成。主要应用于影像复原。

双边总变差的形式如下

${\displaystyle BTV(\mathbf {Y} )=\sum _{l=-P}^{P}\sum _{m=\max(0,-l)}^{P}\lambda ^{|l|+|m|}\left\|\mathbf {Y} -\mathbf {S} _{x}^{l}\mathbf {S} _{y}^{m}\mathbf {Y} \right\|_{1}}$,

其中${\displaystyle \mathbf {Y} }$为处理图片，${\displaystyle \mathbf {S} _{x}^{l}}$与${\displaystyle \mathbf {S} _{y}^{m}}$为两个运算子，分别代表将图片水平移动${\displaystyle l}$个像素与垂直移动${\displaystyle k}$个像素。${\displaystyle \lambda }$为权重，随着平移距离递减。

当${\displaystyle l=1,m=0}$和${\displaystyle l=0,m=1}$时，图片的每一个像素与相邻之下一个像素相减，此时的双边总变差与总变差相同。当${\displaystyle l,m}$为其它值时，可以当成是计算斜线方向以及将图片降采样后的总变差值。如此达到更好的正规化效果。

根据S.Farisu的实验结果^[7]，双边总变差相对于总变差，边界模糊的情况较少，能够更好的保留原图片边界。

参见

• 数字信号处理
• 最佳化
• 影像降噪
• 高斯模糊
• 中值滤波器
• 双边滤波器
• 非等向性扩散
• 非局部平均
• 三维块匹配算法