凸优化

凸函数最优化，或叫做凸最优化，凸最小化，是数学最优化的一个子领域，研究定义于凸集中的凸函数最小化的问题。凸最优化在某种意义上说较一般情形的数学优化问题要简单，譬如在凸最优化中局部最优值必定是全局最优值。凸函数的凸性使得凸分析中的有力工具在优化问题中得以应用，如次导数等。

凸最优化应用于很多学科领域，诸如自动控制系统，信号处理，通信和网络，电子电路设计，数据分析和建模，统计学（优化设计），以及金融。在近来运算能力提高和优化理论发展的背景下，一般的凸最优化已经接近简单的线性规划一样直捷易行。许多优化问题都可以转化成凸最优化（凸最小化）问题。

定义

令${\displaystyle {\mathcal {X}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$为一凸集，且${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$为一凸函数。凸最优化就是要找出一点${\displaystyle x^{\ast }\in {\mathcal {X}}}$，使得每一${\displaystyle x\in {\mathcal {X}}}$满足${\displaystyle f(x^{\ast })\leq f(x)}$。^[1][2]在优化理论中，${\displaystyle {\mathcal {X}}}$称为可行域，${\displaystyle f}$称为目标函数，${\displaystyle x^{\ast }}$称为全局最优值，或全局最优解。

或者可以表示为下面的标准型：

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {min} &&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&g_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}}$

其中 ${\displaystyle f,g_{1}\ldots g_{m}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ 为凸函数。^[3]

举例

以下问题都是凸最优化问题，或可以通过改变变量而转化为凸最优化问题：^[4]

• 最小二乘
• 线性规划
• 线性约束的二次规划
• 半正定规划
• 二阶锥规划

方法

凸最优化（凸最小化）问题可以用以下几种方法求解：

• 捆集法
• 次梯度法
• 内点法