听出鼓的形状

从鼓的音色（即其泛音列），利用数学理论，来获取鼓膜形状的信息，谓之听出鼓的形状。美国数学月刊于1966年刊登了马克·卡克（英语：Mark Kac）的论文〈能否听出鼓的形状？〉，文题由利普曼·伯斯（英语：Lipman Bers）给出。此数学问题可回溯至赫尔曼·外尔。

这两块理想鼓膜发出的声音一样，但其形状不同。 所谓声音一样，意思是其具有相同的特征频率，因此敲击发出的音色将具有相同的泛音。此例子由下文的戈登、韦伯，以及沃尔珀特给出。留意两个多边形具有相同的面积和周长

卡克1966年的论文使此问题广为人知。他因为该论文于1967年获莱斯特·福特奖（英语：Paul R. Halmos – Lester R. Ford Award），并于1968年获肖夫内奖（英语：Chauvenet Prize）。^[1]

鼓膜可以振动的频率取决于其形状。假若已知形状，则可用亥姆霍兹方程求出频率。该些频率为空间（鼓膜）上的拉普拉斯算子的特征值。问题是单由该些频率是否能确定鼓膜的形状。例如，没有其他形状的鼓膜与正方形鼓膜有相同的泛音列。卡克未能得知是否存在两个不同的形状，其具有相同的泛音列。结果，在1992年，戈登、韦伯，以及沃尔珀特证得频率不能完全决定形状，解决了原来的问题。

正式叙述

更正式地，鼓视为边界钳紧的弹性膜，数学上表示成平面上的一个区域 D. 设 λ_n 为其狄利克雷特征值（英语：Dirichlet eigenvalue）：即以下拉普拉斯算子的狄利克雷问题

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|_{\partial D}=0\end{cases}}}$

的特征值。两个区域若具有完全相同的特征根列，则称其等谱（英语：isospectral），或同音（英语：homophonic）。称为“同音”的原因是，该些狄利克雷特征值恰好是鼓所能发出的基调：其为钳紧边界的波动方程的解的傅立叶系数。

于是，可以将问题转述成：只知 λ_n 之值，可以推导出 D 的何种性质？又或，更具体地，是否有两个不同形状但等谱的区域？

也可以从数个不同方向推广，提出同样的问题。其一，可将平面换成高维或黎曼流形，考虑其上的拉氏算子的狄利克雷问题。其二，可将拉氏算子换成其他椭圆算子，例如柯西－黎曼算子或狄拉克算子。其三，可考虑狄利克雷条件以外的其他边界条件，例如诺伊曼边界条件。相关课题属于谱几何的研究。

答案

由一个连续参数给出的一族等谱的鼓

问题提出后，约翰·米尔诺很快观察到，恩斯特·维特（英语：Ernst Witt）的一条定理足以推出存在两个不同形状的 16 维环面，其具有相同的特征值。然而，原来的二维问题要待1992年才得到解决。当时，卡罗林·戈登（英语：Carolyn Gordon） , 大卫·韦伯 (数学家)（英语：David Webb (mathematician)） 和斯科特·沃尔珀特利用砂田方法（得名自砂田利一（英语：Toshikazu Sunada））, 在平面上构造了两个不同形状，但却具有同样特征值的区域。该些区域为凹多边形。其特征值相等的证明用到拉氏算子的对称性。彼得·布塞尔（英语：Jürg Peter Buser）与合作者推广了此想法，从而构造了若干类似的例子。因此，卡克原先问题的答案是否定的：对于许多形状，不能完全听出鼓的形状，不过仍可推断出若干性质。

另一方面，史提夫·泽尔迪奇（英语：Steve Zelditch）证明，若将卡克的问题收窄到仅考虑边界解析的平面凸区域，则会得到肯定的答案。仍未知道是否存在两个非凸的解析区域具有同样的特征值，但已知的是，与某个给定区域等谱的所有区域组成的集合，在 C^∞ 拓扑中是紧集。又例如，由郑氏特征值比较定理（英语：Cheng's eigenvalue comparison theorem）知，球面是谱刚的（英语：spectrally rigid, 即若有流形与之等谱，则其形状亦必与之相同）。此外，利用奥斯古德（Osgood）、菲利浦斯（Phillips）和萨纳克（Sarnak）的成果，可以证明固定亏格的黎曼面组成的模空间中，没有过任何点的连续等谱流，且该模空间在弗雷歇－施瓦茨拓扑（英语：Fréchet–Schwartz topology）下为紧。

外尔公式

主条目：外尔定律（英语：Weyl law）

外尔公式断言，可藉 λ_n 的增长速度推断鼓的面积 A。定义 N(R) 为小于 R 的特征值的数目，则可得

${\displaystyle A=\omega _{d}^{-1}(2\pi )^{d}\lim _{R\to \infty }{\frac {N(R)}{R^{d/2}}},\,}$

其中 d 是维数，${\displaystyle \omega _{d}}$ 是 d-维单位球的体积。外尔猜想迫近式的第二项将给出 D 的周长，即有

${\displaystyle \,N(R)=(2\pi )^{-d}\omega _{d}AR^{d/2}+{\frac {1}{4}}(2\pi )^{-d+1}\omega _{d-1}LR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}),\,}$

其中 L 表示周长（高维情况下则为表面积）。维克托·伊夫里（英语：Victor Ivrii）于1980年证明了上式对于某类边界光滑的流形适用，其不具由两个连续参数给出的一族测地线（例如球面则具有如此一族测地线）。

外尔－贝里猜想

对于边界非光滑的情况，迈克尔·贝里于 1979 年猜想，修正值的量级应为

${\displaystyle R^{D/2},\,}$

其中 D 为边界的豪斯多夫维数。宝乐沙 (法语：J. Brossard）和卡莫纳（法语：R. A. Carmona）推翻了此猜想，但提出应将豪斯多夫维数改成顶盒维数（即上计盒维数）。在平面上，边界维数为 1 的情况已获证（1993 年），但大多数高维情况被否证（1996 年），两个结论都是拉皮迪（法语：:fr:Michel_Lapidus）和波默兰斯（英语：Carl Pomerance）的成果。

相关条目

• 圆形膜的振动（英语：Vibrations of a circular membrane）
• 加斯曼三元组（英语：Gassmann triple）
• 等谱（英语：Isospectral）
• 谱几何
• 推广到迭代函数系统生成的碎形的情况^[2]