肯普纳级数

肯普纳级数（英语：Kempner series）是十进制写法不含数字9的正整数的倒数和。用符号可写成

${\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}n=1\\n{\text{缺 }}9\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {1}{n}}_{,}}$

其中“缺9”意思是“十进制表示中，不含数字9”，下同。奥伯利·肯普纳（英语：Aubrey J. Kempner）于1914年最早研究该级数。^[1]肯普纳级数是由调和级数删走含数字9的项所得，但肯普纳级数收敛，调和级数则发散。肯普纳证明，级数之和小于90。罗伯特·贝利^[2]证明，级数准确到小数点后20位的值为22.92067661926415034816（OEIS数列A082838）。

直观理解，级数收敛是因为大部分“大数”都有齐0至9的全部数字。例如，均匀随机选一个100位的正整数，很易包含至少一个数字9，于是级数不计该数的倒数。

施梅尔策与贝利^[3]找到高效算法，给定任意数字串为输入，计算缺该串的正整数倒数和。此问题推广了原本的级数求值问题。举例，考虑所有缺数字串“42”的正整数${\displaystyle n}$，其倒数和约为228.44630415923081325415。又举例，缺数字串“314159”的正整数倒数和约为2302582.33386378260789202376。（上述数值皆四舍五入至末位。）

命名

许多文献中，级数未有命名。^[4]MathWorld用Kempner series为条目名。^[5]朱利安·哈维尔所著《伽玛》（论欧拉-马斯刻若尼常数）亦采用同一名称。^[6]:31–33

收敛

肯普纳对数列收敛之证明^[1]，载于若干教科书，如哈代与赖特合著《数论导论》^[7]:120，亦是阿波斯托《数学分析》的习题^[8]:212。证明如下。

将级数各项按分母的位数分组。由乘法原理，缺“9”的${\displaystyle n}$位正整数共有${\displaystyle 8\times 9^{n-1}}$个，因为最高位有8个选择（1至8，首位不为零），而其后${\displaystyle n-1}$位，每位有9种选择（0至8），且各位的选择互相独立。任何${\displaystyle n}$位数皆不小于${\displaystyle 10^{n-1}}$，故其倒数至多为${\displaystyle 10^{1-n}}$。所以，缺“9”的${\displaystyle n}$位正整数之倒数，对级数的贡献，至多是${\displaystyle 8\times \left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}}$。因此，将各组贡献加总，全个级数至多为

${\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80.}$

若将禁止出现的“9”换成其他非零数字，则同样的论证仍成立。至于缺“0”的情况，缺“0”的${\displaystyle n}$位正整数共有${\displaystyle 9^{n}}$个，故缺“0”正整数的倒数和至多为：

${\displaystyle 9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90.}$

若删去含有某串${\displaystyle k}$位子字串的项，例如忽略所有分母含子字串“42”的项，则级数同样收敛。证明方法几乎一样^[3]，先观察在${\displaystyle 10^{k}}$进制中，删去含有该字串为“位”的项，则前述证明适用，证出新级数收敛。但是，新级数比欲证收敛的级数更大，原因是欲证收敛的级数中，不仅删走以该字串为${\displaystyle 10^{k}}$进制位的项，还删走了跨${\displaystyle 10^{k}}$进制位而含该字串的项。接续前一个例子，百进制的新级数略过4217（百进制的首位是42）和1742（百进制的末位是42），但未略过1427，而欲证收敛的级数中，连1427也一并略去。

巴基尔·法喜^[9]研究恰有${\displaystyle n}$个数字${\displaystyle d}$（满足${\displaystyle 0\leq d\leq 9}$）的正整数倒数和${\displaystyle S(d,n)}$，此为肯普纳级数的推广，因为原级数即为${\displaystyle S(9,0)}$。法喜证明，对每个${\displaystyle d}$，数列${\displaystyle S(d,n)}$由${\displaystyle n=1}$起取值递减，且当${\displaystyle n}$趋向无穷大时，收敛到${\displaystyle 10\ln 10}$。不过，数列一般并非由${\displaystyle n=0}$起递减，例如原级数值为${\displaystyle S(9,0)\approx 22.921<23.026\approx 10\ln 10}$，比${\displaystyle n\geq 1}$时任意一个${\displaystyle S(9,n)}$更小。

数值方法

级数收敛得很慢。贝利^[2]写道，即使计算前10²⁴项和，其后余项仍超过1。^[10]

80是很粗略的上界。弗兰克·厄文较仔细地分析后^[11]，证明级数值接近23。此后，再由贝利改进到前述的22.92067…。^[2]

贝利^[2]以${\displaystyle s(i,j)}$表示缺某指定数字的所有${\displaystyle i}$位正整数的${\displaystyle j}$次方倒数和，然后推导出，只要有齐${\displaystyle s(i,j+n)}$对所有非负整数${\displaystyle n}$的值，就能递归计算${\displaystyle s(i+1,j)}$。于是，祗需较少的计算，已得到原级数${\displaystyle s(1,1)+s(1,2)+\cdots }$的准确估计。

参见

• 倒数和收敛
• 倒数和列表（英语：List of sums of reciprocals）