胡列维茨定理

提示：此条目的主题不是胡尔维茨定理。

在数学中，胡列维茨定理是代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论与同调论联系起来，是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以维托尔德·胡列维茨（英语：Witold Hurewicz）命名。

定理陈述

胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。

绝对版本

对于任意空间 ${\displaystyle X}$ 和任意正整数 ${\displaystyle k}$，都存在群同态（构造见本小节末尾）

${\displaystyle h_{\ast }\colon \,\pi _{k}(X)\to H_{k}(X)\,\!}$

称为从 ${\displaystyle k}$ 阶同伦群到 ${\displaystyle k}$ 阶（整系数）同调群的胡列维茨同态。当 ${\displaystyle k=1}$ 且 ${\displaystyle X}$ 道路连通时，胡列维茨同态等价于标准的阿贝尔化映射

${\displaystyle h_{\ast }\colon \,\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X).\,\!}$

胡列维茨定理声明，若 ${\displaystyle X}$ 是(n -1)-连通空间，那么对于所有 ${\displaystyle k\leq n}$，胡列维茨同态都是群同构（当 ${\displaystyle n\geq 2}$）或阿贝尔化（当 ${\displaystyle n=1}$）。特别地，定理说明第一同伦群（即基本群）的阿贝尔化同构于第一同调群：

${\displaystyle H_{1}(X)\cong \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)].\,\!}$

因此，如果 ${\displaystyle X}$ 道路连通且 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ 是完美群，那么 ${\displaystyle X}$ 的第一同调群为零。

此外，当 ${\displaystyle X}$ 是(n -1)-连通时（${\displaystyle n\geq 2}$），胡列维茨同态 ${\displaystyle \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$ 都是满同态（满射）。

胡列维茨同态由如下方式给定：设 ${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}$ 为标准生成元，那么胡列维茨映射将同伦类 ${\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}$ 映射到 ${\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}$。

相对版本

三元版本

单纯集合版本

拓扑空间的胡列维茨定理对于n-连通、满足阚条件的单纯集合也有对应陈述。^[1]

有理胡列维茨定理

设 ${\displaystyle X}$ 为单连通拓扑空间，并对于所有 ${\displaystyle i\leq r}$ 满足 ${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}$。那么胡列维茨映射

${\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} :\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$

对于 ${\displaystyle 1\leq i\leq 2r}$ 为同构，且对于 ${\displaystyle i=2r+1}$ 是满射。^[2][3]