描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程为
;
其中,
是约化普朗克常数,
是粒子的波函数,
是粒子的位置,
是时间。
这薛定谔方程有一个平面波解:
;
其中,
是波矢,
是角频率。
将这公式代入薛定谔方程,这两个变数必须遵守关系式
。
由于粒子存在的概率等于1,波函数
必须归一化,才能够表达出正确物理意义。对于一般的自由粒子而言,这不是问题。因为,自由粒子的波函数,在位置或动量方面,都是局部性的。
动量的期望值是
。
能量的期望值是
。
代入波矢
与角频率
的关系方程,可以得到熟悉的能量与动量的关系方程:
。
波的群速度
定义为
;
其中,
是粒子的经典速度。
波的相速度
定义为
。
在量子力学里,一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数以波包函数表示为
;
其中,积分区域
是
-空间。
为了方便计算,只考虑一维空间,
;
其中,振幅
是量子叠加的系数函数。
逆反过来,系数函数表示为
;
其中,
是在时间
的波函数。
所以,知道在时间
的波函数
,通过傅里叶转换,可以推导出在任何时间的波函数
。