Delta位势垒

在量子力学里，Delta位势垒是一个垒内位势为狄拉克Delta函数，垒外位势为0的位势垒。Delta位势垒问题专门研讨，在这种位势的作用中，一个移动的粒子的量子行为。我们想要知道的是，在被Delta位势垒散射的状况下，粒子的反射系数与透射系数。在许多量子力学的教科书里，这是一个常见的习题。

定义

对于一个Delta位势垒的散射。往左与往右的行进波的振幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的行进波都以红色表示。

一个粒子独立于时间的薛定谔方程为

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!}$；

其中，${\displaystyle \hbar \,\!}$是约化普朗克常数，${\displaystyle m\,\!}$是粒子质量，${\displaystyle x\,\!}$是粒子位置，${\displaystyle E\,\!}$是能量，${\displaystyle \psi (x)\,\!}$是波函数，${\displaystyle V(x)\,\!}$是位势，表达为

${\displaystyle V(x)=\lambda \delta (x)\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta (x)\,\!}$是狄拉克Delta函数，${\displaystyle \lambda \,\!}$是狄拉克Delta函数的强度。

导引

这位势垒将一维空间分为两个区域：${\displaystyle x<0\,\!}$与${\displaystyle x>0\,\!}$。在任何一个区域内，位势为常数，薛定谔方程的解答可以写为往右与往左传播的波函数的叠加（参阅自由粒子）：

${\displaystyle \psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx}\quad x<0\,\!}$，

${\displaystyle \psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx}\quad x>0\,\!}$；

其中，${\displaystyle A_{r}\,\!}$、${\displaystyle A_{l}\,\!}$、${\displaystyle B_{r}\,\!}$、${\displaystyle B_{l}\,\!}$都是必须由边界条件决定的常数，下标${\displaystyle r\,\!}$与${\displaystyle l\,\!}$分别标记波函数往右或往左的方向。${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,\!}$是波数。

由于${\displaystyle E>0\,\!}$，${\displaystyle \psi _{L}\,\!}$与${\displaystyle \psi _{R}\,\!}$都是行进波。这两个波必须满足在${\displaystyle x=0\,\!}$的边界条件：

${\displaystyle \psi _{L}=\psi _{R}\,\!}$，

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\psi _{L}={\frac {d}{dx}}\psi _{R}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!}$。

特别注意第二个边界条件方程，波函数随位置的导数在${\displaystyle x=0\,\!}$并不是连续的，在位势垒两边的差额有${\displaystyle -{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!}$这么多。这方程的推导必须用到薛定谔方程。将薛定谔方程积分于${\displaystyle x=0\,\!}$的一个非常小的邻域：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }V(x)\psi \,dx=E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\,\!}$；(1)

其中，${\displaystyle \epsilon \,\!}$是一个非常小的数值。

方程(1)右边的能量项目是

${\displaystyle E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\approx E\cdot 2\epsilon \cdot \psi (0)\,\!}$。(2)

在${\displaystyle \epsilon \to 0\,\!}$的极限，这项目往著0去。

方程(1)左边是

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }-{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }\right)+\lambda \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=0\,\!}$(3)

根据狄拉克Delta函数的定义，

${\displaystyle \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=\psi _{R}(0)\,\!}$。(4)

而在${\displaystyle \epsilon \to 0\,\!}$的极限，

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }={\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!}$，(5)

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }={\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!}$。(6)

将这些结果(4)，(5)，(6)代入方程(3)，稍加编排，可以得到第二个边界条件方程：在${\displaystyle x=0\,\!}$，

${\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dx}}={\frac {d\psi _{R}}{dx}}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!}$。

从这两个边界条件方程。稍加运算，可以得到以下方程：

${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}\,\!}$，

${\displaystyle ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}(B_{r}+B_{l})\,\!}$。

反射与透射

一个Delta位势垒的反射系数${\displaystyle R\,\!}$（用红线表示）与透射系数${\displaystyle T\,\!}$（用绿线表示）随着能量${\displaystyle E\,\!}$的变化。在这里，能量${\displaystyle E>0\,\!}$。能量的单位是${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}\,\!}$。经典力学的答案用虚线表示，量子力学的答案用实线表示。

由于能量是正值的，粒子可以自由的移动于位势垒外的两个半空间，${\displaystyle x<0\,\!}$或${\displaystyle x>0\,\!}$。可是，在Delta位势垒，粒子会遇到散射状况。设定粒子从左边入射。在Delta位势垒，粒子可能会被反射回去，或者会被透射过去。我们想要知道散射的反射系数与透射系数。设定${\displaystyle A_{r}=1\,\!}$，${\displaystyle A_{l}=r\,\!}$，${\displaystyle B_{l}=0\,\!}$，${\displaystyle B_{r}=t\,\!}$。求算反射的概率幅${\displaystyle r\,\!}$与透射的概率幅${\displaystyle t\,\!}$：

${\displaystyle r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}\,\!}$，

${\displaystyle t={\cfrac {1}{{\cfrac {im\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1}}\,\!}$。

反射系数是

${\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}\,\!}$。

透射系数是

${\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}\,\!}$。

这纯粹是一个量子力学的效应，称为量子隧穿效应；在经典力学里，透射系数等于0，粒子不可能会透射过位势垒。

• 由于模型的对称性，假若，粒子从右边入射，我们也会得到同样的答案。
• 很奇异地，给予同样的能量、质量、与狄拉克Delta函数的强度，Delta位势垒与Delta位势阱有同样的反射系数与透射系数。

参阅

• 自由粒子
• 无限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位势垒
• 球对称位势
• Delta位势阱
• 量子隧穿效应