处处不连续函数

处处不连续函数是一数学名词，是指在其定义域上的每一点都不连续的函数。若${\textstyle f(x)}$为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个${\textstyle x}$，都存在${\textstyle \epsilon >0}$，使得针对每一个${\textstyle \delta >0}$，都可以找到${\textstyle y}$，使下式成立，则${\textstyle f(x)}$为处处不连续函数：

${\displaystyle 0<|x-y|<\delta {\text{ 且 }}|f(x)-f(y)|\geq \epsilon }$

换句话说，不论距固定点多近，都有距固定点更近的点使函数的值偏离固定点对应的值。例如狄利克雷函数就是一个处处不连续函数。

处处不连续函数的性质不是函数典型的现象，有病态特性。

若将定义中的绝对值改为度量空间中的距离或是拓扑空间中的类似名词．即可定义更泛用的处处不连续函数。

处处不连续函数的范例

狄利克雷函数

主条目：狄利克雷函数

狄利克雷函数（英语：Dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为${\textstyle \{0,1\}}$的不连续函数，是有理数的指示函数。

当

1. 自变量${\displaystyle x}$为有理数时，${\textstyle f(x)=1}$；
2. 自变量${\displaystyle x}$为无理数时，${\textstyle f(x)=0}$。

将此例扩展来看，若${\textstyle E}$是拓扑空间${\textstyle X}$里的子集，使得${\displaystyle E}$和其补集在空间${\textstyle X}$内都是稠密集，则${\textstyle E}$的指标函数（若在${\displaystyle E}$内，其值为1，不在${\textstyle E}$内，其值为0）就会是处处不连续函数。最早研究这类函数的人是约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷^[1]。

其他函数

康威十三进制函数也是处处不连续函数，此函数是由英国数学家约翰·康威所构建的，此函数和连续函数一样，具有介值性，但却是处处不连续函数。

超实数特性

一实数函数${\textstyle f}$为处处不连续，若其超实数延伸有以下的特性：每一个无限接近一个${\textstyle x}$都有一个无限接近的点${\textstyle y}$，使得距离${\textstyle f(x)-f(y)}$不是无穷小量。

相关条目

• Thomae函数（英语：Thomae's function）：在无理数下连续，但在有理数下不连续的函数。
• 魏尔斯特拉斯函数：一个处处连续，但处处不可微分的函数。