西姆松定理

西姆松定理（或译西摩松定理、西姆森定理）是几何学中的一个定理，此定理描述：在平面中，给定一个三角形 ${\displaystyle ABC}$，以及 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 外接圆上的一点${\displaystyle P}$。则 ${\displaystyle P}$ 分别对直线 ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$、${\displaystyle {\overleftrightarrow {BC}}}$、${\displaystyle {\overleftrightarrow {CA}}}$ 作的三个垂足（右图中的 ${\displaystyle N}$、${\displaystyle L}$、${\displaystyle M}$）会共线。

蓝线(LM)为三角形 ABC 关于其外接圆上点 P 的西姆松线

上述中的直线 ${\displaystyle {\overleftrightarrow {MNL}}}$ 称为 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 关于 ${\displaystyle P}$ 点的西姆松线（英语：Simson line），或译西摩松线、西姆森线。

逆定理

西姆松定理的逆叙述也是正确的，其描述：给定平面中的 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 及一点 ${\displaystyle P}$。若 ${\displaystyle P}$ 对 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 三边延长线的三个垂足共线，则 ${\displaystyle P}$ 在 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 的外接圆上。

相关性质

• 令 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 的垂心为H。则 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 关于 ${\displaystyle P}$ 的西姆松线和 ${\displaystyle {\overline {PH}}}$ 的交点为 ${\displaystyle {\overline {PH}}}$ 的中点，且此中点在九点圆上。
• 两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
• 若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

西姆松定理与西姆松的关系

西姆松定理命名自苏格兰数学家 Robert Simson，然而西姆松是被误认为定理的贡献者^[1]，此定理实则由另一位苏格兰数学家威廉·华莱士所发表^[2]。

证明

如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有

角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM

故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆，则角PBN = 角PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有

角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM

故L、M、N三点共线。

参见

• 外接圆
• 九点圆
• 垂足三角形

外部链接

• cut-the-knot网站上的证明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 证明（flash） （页面存档备份，存于互联网档案馆）