垂足三角形

在几何学上，垂足三角形（英语：Pedal triangle）是将一个点投影至三角形的边上所得到的三角形。

三角形 ABC 为黑色，从 P 延伸出去的三条垂线为蓝色，由此得到的垂足三角形 LMN 为红色

具体地说，考虑一个三角形${\displaystyle ABC}$，选定一个异于顶点${\displaystyle A,B,C}$的点${\displaystyle P}$。通过${\displaystyle P}$对三角形的三边做垂直线，将这些垂直线与${\displaystyle {\overleftrightarrow {BC}},{\overleftrightarrow {AC}},{\overleftrightarrow {AB}}}$的交点分别命名为${\displaystyle L,M,N}$，则三角形${\displaystyle LMN}$是一个垂足三角形。

性质

如果${\displaystyle ABC}$不是钝角三角形，则其垂足三角形${\displaystyle LMN}$的内角角度分别为${\displaystyle 180^{\circ }-2A}$、${\displaystyle 180^{\circ }-2B}$、${\displaystyle 180^{\circ }-2C}$。^[1] 若${\displaystyle P}$点位于三角形${\displaystyle ABC}$的特殊中心上，则有一些特殊情况：

• 若${\displaystyle P}$是${\displaystyle ABC}$的垂心，则${\displaystyle LMN}$是垂心三角形（英语：Orthic triangle）。
• 若${\displaystyle P}$是${\displaystyle ABC}$的内心，则${\displaystyle L,M,N}$是${\displaystyle ABC}$之内切圆的三个切点。
• 若${\displaystyle P}$是${\displaystyle ABC}$的外心，则${\displaystyle LMN}$是中点三角形。

若${\displaystyle P}$点以三角形${\displaystyle ABC}$为基准的三线坐标是${\displaystyle p:q:r}$，则其垂足三角形的顶点${\displaystyle L,M,N}$坐标为：

${\displaystyle L=0:q+p\cos {C}:r+p\cos {B}}$

${\displaystyle M=p+q\cos {C}:0:r+q\cos {A}}$

${\displaystyle N=p+r\cos {B}:q+r\cos {A}:0}$

相关定理

P 在外接圆上的情形，此时垂足三角形退化为一条线（红色）

卡诺定理：红色区域与蓝色区域的面积相等

西姆松定理

主条目：西姆松定理

若${\displaystyle P}$点位于${\displaystyle ABC}$的外接圆上，则${\displaystyle L,M,N}$共线，反之亦然。这条线被称为垂足线（英语：Pedal line），又称为西姆松线（英语：Simson line）。

卡诺定理

主条目：卡诺定理 (垂线)

${\displaystyle A,B,C,L,M,N}$六点满足以下等式：^[2]

${\displaystyle {\overline {AN}}^{2}+{\overline {BL}}^{2}+{\overline {CM}}^{2}={\overline {NB}}^{2}+{\overline {LC}}^{2}+{\overline {MA}}^{2}}$

反垂足三角形

三角形 ABC 为红色，从 P 延伸至顶点的三条线为蓝色，由此得到的反垂足三角形 LMN 为黑色

过${\displaystyle A}$作一条垂直于${\displaystyle {\overline {PA}}}$的直线，过${\displaystyle B}$作一条垂直于${\displaystyle {\overline {PB}}}$的直线，过${\displaystyle C}$作一条垂直于${\displaystyle {\overline {PC}}}$的直线，则这三条直线构成的三角形称为反垂足三角形（英语：Antipedal triangle）。在这个反垂足三角形中，设与${\displaystyle A}$相对的顶点为${\displaystyle A^{\prime }}$，与${\displaystyle B}$相对的顶点为${\displaystyle B^{\prime }}$，与${\displaystyle C}$相对的顶点为${\displaystyle C^{\prime }}$。

${\displaystyle ABC}$是${\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}$在${\displaystyle P}$点上的垂足三角形，这也是其名称的由来。

若${\displaystyle P}$点以三角形${\displaystyle ABC}$为基准的三线坐标是${\displaystyle p:q:r}$，则反垂足三角形的顶点${\displaystyle A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }}$坐标为：^[3]

${\displaystyle A^{\prime }=-(q+p\cos {C})(r+p\cos {B}):(r+p\cos {B})(p+q\cos {C}):(q+p\cos {C})(p+r\cos {B})}$

${\displaystyle B^{\prime }=(r+q\cos {A})(q+p\cos {C}):-(r+q\cos {A})(p+q\cos {C}):(p+q\cos {C})(q+r\cos {A})}$

${\displaystyle C^{\prime }=(q+r\cos {A})(r+p\cos {B}):(p+r\cos {B})(r+q\cos {A}):-(p+r\cos {B})(q+r\cos {A})}$

一个特殊的例子是，如果${\displaystyle P}$点位于内心，则该反垂足三角形以${\displaystyle ABC}$的三个旁心为顶点。