诺特群

在群论中，诺特群(英语：Noetherian group)是指群使得其子群满足升链条件。

定义

设${\displaystyle G}$是一个群。那么以下条件等价，满足此条件的群称为诺特群。

• ${\displaystyle G}$的子群格 ${\displaystyle \operatorname {Sub} (G)}$满足升链条件。
• ${\displaystyle G}$的所有子群都是有限生成群。

性质

关于诸运算的封闭性

诺特群的子群以及商群是诺特群。诺特群被诺特群的扩张仍是诺特群。

诺特可解群

对于群${\displaystyle G}$，以下条件等价。^[1]:165

• ${\displaystyle G}$是可解群，并且是诺特群。
• 存在${\displaystyle G}$的子群列${\displaystyle 1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{n}=G}$，使得对于每个${\displaystyle i=0,\dots ,n-1}$有${\displaystyle G_{i}\vartriangleleft G_{i+1}}$且${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$是循环群。

满足这个条件的群称为多循环群。

对于幂零群${\displaystyle G}$，以下条件等价。^[1]:145

• ${\displaystyle G}$是诺特群。
• ${\displaystyle G}$是有限生成群。

例

所有有限群都是诺特群。所有有限生成幂零群是多循环群从而是诺特群。^[1]:145

多循环群被有限群的扩张是诺特群。其逆不成立，也就是说一个诺特群可能不具有指数有限的多循环正规子群。但这样的反例的构造是相当复杂的。

历史

诺特群的名称取自埃米·诺特。不是多循环群被有限群的扩张的诺特群由亚历山大·奥利尚斯基在一篇1979年论文中首次构造。^[2][3]