贝尔级数

贝尔级数是数论上一种研究算术函数的工具。它是形式幂级数。

给定算术函数f和质数p，f模p的贝尔级数为 ${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}}$

• 唯一定理：对于任意质数p，若两个积性函数模p的贝尔级数都相等，则这两个函数是相等的。
• 对于两个算术函数的狄利克雷卷积，有${\displaystyle {(f*g)_{p}}(x)=f_{p}(x)\times g_{p}(x)}$。
• 一个完全积性函数的贝尔级数为几何级数：${\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}}$。

例子

以下是一些常见的算术函数的贝尔级数。

• 默比乌斯函数${\displaystyle \mu }$的${\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}$
• 欧拉函数${\displaystyle \phi }$的${\displaystyle \phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}$
• 刘维尔函数${\displaystyle \lambda }$的${\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}$
• 因子函数${\displaystyle \sigma _{k}}$的${\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-\sigma _{k}(p)x+p^{k}x^{2}}}.}$

参考

• Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol