费马-卡塔兰猜想

在数论上，费马－卡塔兰猜想是费马大定理与卡塔兰猜想的推广，而这猜想认为，以下的等式

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad }$

1

仅有有限多个${\displaystyle a,b,c}$彼此互质，且${\displaystyle m,n,k}$满足下列条件的解：

${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}$

2

这个给出${\displaystyle m,n,k}$条件的不等式是猜想的必要成分，而这是因为没有这不等式的话，这结果就会有无限多的解，像例如在${\displaystyle k=1}$的状况下，${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c}$显然有无限多的解；而在${\displaystyle m=n=k=2}$的状况下该等式就是毕达哥拉斯定理，而目前已知有无限多个毕氏三元数存在。

已知解

截至2015年为止，等式(1)已知有十个满足不等式(2)的解，而这些解如下：^[1]

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$ （在${\displaystyle m>6}$的状况下这满足不等式(2)）

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}$

${\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}\;}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}$

${\displaystyle 9262^{3}[phone]^{2}=113^{7}\;}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}$

根据在普雷达·米哈伊列斯库（英语：Preda Mihăilescu）于2002年证明的卡塔兰猜想，这些等式中的第一个，也就是${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$，是唯一满足${\displaystyle a,b,c}$其中一个是1的解。尽管因为${\displaystyle m}$可以是大于6的任意数之故，因此${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$等同于有无限多解，这些解只对${\displaystyle (a^{m},b^{n},c^{k})}$这三元数给出一组解。

部分结果

根据利用了法尔廷斯定理的达尔蒙－关维定理（Darmon–Granville theorem），对于任意特定不等式(2)的三元数组${\displaystyle (m,n,k)}$，等式(1)仅有有限解；^{[2][3]:p. 64}然而完整的费马－卡塔兰猜想强于此，而这是因为完整的猜想允许${\displaystyle m,n,k}$这三个指数项是任意数之故。

abc猜想可导出费马－卡塔兰猜想。^[4]

亦可见比尔猜想（英语：Beal conjecture）一文的内容以得知已证实不可能的指数组合；而比尔猜想为真，当且仅当所有费马－卡塔兰猜想的解都有${\displaystyle m=2}$、${\displaystyle n=2}$或${\displaystyle k=2}$。

参见

• 幂和