赫尔维茨多项式

赫尔维茨多项式（Hurwitz polynomial）得名自德国数学家阿道夫·赫维兹，是一种特殊的多项式，其系数为正值，而且其根解都在复数平面的左半边或是在虚轴上，也就是根的实部均为负数或是零^[1]。有时此一用语会将多项式根的实部限制为只允许负值，也就是解不能在虚轴上（赫尔维茨稳定多项式）^[2][3]。

若以下二个条件皆成立，复变数s 的多项式P(s)为赫尔维茨多项式：

1. 若s为实数，则P(s)为实数。

2. P(s)根的实部均为零或负值。

赫尔维茨多项式在控制系统理论中非常重要，其表示稳定线性非时变系统的特征多项式。多项式是否赫尔维茨多项式可以直接求解方程式，或是用劳斯–赫尔维茨稳定性判据求得。

例子

以下是一个简单的赫尔维茨多项式。

${\displaystyle x^{2}+2x+1.}$

其唯一的实根−1，其因式为

${\displaystyle (x+1)^{2}.}$

性质

对于赫尔维茨多项式，系数均为正值只是必要条件，不是充份条件。赫尔维茨多项式的充份必要条件是通过劳斯–赫尔维茨稳定性判据。利用其稳定性判据可以有效的判断是否是赫尔维茨多项式。

赫尔维茨多项式的性质有：

1. 所有的极点及零点都在左半平面或是虚轴上。
2. 所有虚轴上的极点及零点均不为重根或重极点。
3. 所有虚轴的极点及零点都只有严格的正留数，函数有实部严格为正值的导数。
4. 在右半平面，PR函数实部的最小值出现在虚轴（因为解析函数的实部会组成平面上的调和函数，满足最大定理。
5. 多项式没有漏掉s的任何一个次方。