输入-状态稳定性

输入-状态稳定性（Input-to-state stability）简称ISS^[1][2]，是在有外部输入时，非线性的控制理论中探讨其稳定性的方式。简单来说，控制系统具有输入-状态稳定性也就是指在没有外在输入时，系统会渐近稳定，而且在足够长的时间后，系统轨迹会限制在和输入大小有关的函数中。

输入-状态稳定性之所以重要，是因为此概念连接了输入-输出稳定性以及状态空间法，这二个都是控制系统研究者常常使用的工具。输入-状态稳定性的标示方式是由Eduardo Sontag（英语：Eduardo Sontag）在1989年开始使用^[3]。

定义

考虑非时变常微分方程，其形式如下

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},}$

1

其中${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}}$是勒贝格测度有本质确界的外部输入，且 ${\displaystyle f}$是利普希茨连续函数。这可以确保系统(1)有唯一绝对连续的解。

若要定义ISS以及其他相关的性质，需要引入以下的比较函数（英语：comparison function）分类。令${\displaystyle {\mathcal {K}}}$（K类函数）为连续递增函数${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$，且${\displaystyle \gamma (0)=0}$形成的集合，令${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }}$为无界函数${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$，再令${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$（KL类函数）为若${\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}}$在所有的${\displaystyle t\geq 0}$都成立，而且针对所有的${\displaystyle r>0}$，${\displaystyle \beta (r,\cdot )}$连续，且严格递减至0。

系统(1)称为在原点全域渐近稳定（0-GAS），若对应的零输入系统

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,0),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},}$

WithoutInputs

是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在 ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$使得针对所有的初值 ${\displaystyle x_{0}}$以及任意时间${\displaystyle t\geq 0}$，以下有关(WithoutInputs)解的估计都有效＞：

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t).}$

GAS-Estimate

系统(1)称为输入-状态稳定性（ISS）若存在函数 ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$且${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$使得针对所有初值${\displaystyle x_{0}}$，所有可行的输入${\displaystyle u}$以及任意时间${\displaystyle t\geq 0}$，以下的不等式都成立

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

2

上述不等式中的函数${\displaystyle \gamma }$称为增益（gain）。

很明显的，ISS系统是0-GAS系统，也有有界输入有界输出稳定性（若令输出等于状态），不过0-GAS系统不一定是ISS系统。

也可以证明若在${\displaystyle t\to \infty }$时，${\displaystyle |u(t)|\to 0}$，则在${\displaystyle t\to \infty }$时，${\displaystyle |x(t)|\to 0}$。

输入-状态稳定性质的特点

为了要了解输入-状态稳定性，需要用其他的稳定性术语来重新说明。

系统(1)为全域稳定（GS），若存在 ${\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}}$，使得对于${\displaystyle \forall u}$、${\displaystyle \forall t\geq 0}$及${\displaystyle \forall x_{0}}$，下式都成立

${\displaystyle |x(t)|\leq \sigma (|x_{0}|)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

GS

系统(1)满足渐近增益（AG）特性，若存在${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$，使得对于${\displaystyle \forall x_{0}}$, ${\displaystyle \forall u}$，下式都成立

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }|x(t)|\leq \gamma (\|u\|_{\infty }).}$

AG

以下的描述都是等效的 ^[4]：

1. (1)有ISS（输入-状态稳定性）
2. (1)是GS（全域稳定），且有AG（渐近增益）特性
3. (1)是0-GAS（在原点全域渐近稳定），且有AG（渐近增益）特性

在论文中可以找到以上论述的证明，以及许多输入-状态稳定性的特性^[4][5]。

ISS-李亚普诺夫函数

ISS-李亚普诺夫函数是验证输入-状态稳定性时的重要工具。

光滑函数${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$是系统(1)的ISS-李亚普诺夫函数，若${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$, ${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$，以及[[ 正定函数 (实值连续可微函数)|正定函数]] ${\displaystyle \alpha }$，使得下式成立：

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

以及 ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$，下式成立：

${\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),}$

函数${\displaystyle \chi }$称为李亚普诺夫增益（Lyapunov gain）。

若系统(1)没有输入（也就是${\displaystyle u\equiv 0}$），则最后一式可以简化如下

${\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,}$

因此${\displaystyle V}$也是（一般定义的）李亚普诺夫函数。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要结论是系统(1)为ISS，当且仅当存在光滑ISS李亚普诺夫函数^[5]。

例子

考虑一系统

${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.}$

定义候选的ISS-李亚普诺夫函数${\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$如下 ${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.}$

选择李亚普诺夫增益${\displaystyle \chi }$为

${\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r}$.

可以得到在${\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)}$的条件下，下式成立

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.}$

可得${\displaystyle V}$是该系统的ISS-李亚普诺夫函数，李亚普诺夫增益为${\displaystyle \chi }$。

其他相关概念

积分输入-状态稳定性（iISS）

系统(1)为积分输入-状态稳定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函数${\displaystyle \alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}}$及${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$，使得针对所有初值${\displaystyle x_{0}}$，所有可行的输入${\displaystyle u}$及任意时间${\displaystyle t\geq 0}$下，以下不等式都会成立：

${\displaystyle \alpha (|x(t)|)\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}\gamma (|u(s)|)ds.}$

3

积分输入-状态稳定性（iISS）系统和ISS系统不同，若系统是iISS系统，在有界输入下其轨迹仍可能会成长到无限大。例如，在所有${\displaystyle r\geq 0}$，令${\displaystyle \alpha (r)=\gamma (r)=r}$，且令${\displaystyle u\equiv c=const}$，则估计(3)会变成以下的形式

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,}$

随着${\displaystyle t\to \infty }$，等号右侧会趋近无限大 ${\displaystyle t\to \infty }$。

局部输入-状态稳定性（LISS）

局部输入-状态稳定性也是一种输入-状态稳定性的特性。系统(1)为局部输入-状态稳定性（locally ISS、LISS）若存在常数${\displaystyle \rho >0}$、函数 ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$及${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$使得：针对所有${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho }$，所有可行的输入${\displaystyle u:\|u\|_{\infty }\leq \rho }$及任意时间${\displaystyle t\geq 0}$，下式都成立

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

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可以观察到0-GAS系统会有LISS系统的特性^[6]。

其他的稳定性

也有其他人提出和输入-状态稳定性有关的稳定性特性，例如增量输入-状态稳定性（incremental ISS）、输入至输出动态稳定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）^[7]、输入至输出实务稳定性（input-to-state practical stability、ISpS）、输入至输出稳定性（input-to-output stability、IOS）^[8]等。

时滞系统的ISS

考虑非时变的时滞微分方程

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x^{t},u(t)),\quad t>0.}$

TDS

其中${\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})}$是系统(TDS)在时间${\displaystyle t}$的状态，${\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]}$及${\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}}$需满足特定假设，以确保系统(TDS)的解存在且唯一。

系统(TDS)为ISS，当且仅当存在函数${\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}$及${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$，使得针对所有${\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})}$，所有可行的输入，在任意时间${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$下，下式都成立

${\displaystyle \left|x(t)\right|\leq \beta (\left\|\xi \right\|_{\left[-\theta ,0\right]},t)+\gamma (\left\|u\right\|_{\infty }).}$

ISS-TDS

在时滞系统的ISS理论中，提出了二个不同的李亚普诺夫型的充份条件：透过ISS Lyapunov-Razumikhin函数^[9]及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函^[10]。有些论文有提到有关时滞系统的逆李亚普诺夫定理^[11]。

其他类型系统的输入-状态稳定性

以非时变常微分方程为基础的输入-状态稳定性是已有相当发展的理论。也有研究者将此理论应用在其他的系统中，例如时变系统^[12]、混合系统^[13][14]。近来也有人提出，将输入-状态稳定性的一些概念扩展到无限维系统的想法^{[15][16][1][17]}。