达布定理

此条目的主题是数学分析中的达布定理。关于微分几何中的达布定理，请见“达布定理 (微分几何)”。

在实分析中，达布定理（英语：Darboux's theorem）得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有实函数的导数都具有介值性质：实导函数对任意区间的值域仍是区间。即，若${\displaystyle f}$为可导函数，则对任意区间${\displaystyle I}$，${\displaystyle f'(I)}$ 仍为区间。

当函数 ${\displaystyle f}$ 是一阶连续可导函数时，由介值定理，达布定理显然成立。当导函数 ${\displaystyle f'}$ 不连续时，达布定理说明 ${\displaystyle f'}$ 仍具有介值性质。

内容

设${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$为闭区间${\displaystyle [a,b]}$上的可导实函数，那么对介于${\displaystyle f'(a)}$和${\displaystyle f'(b)}$之间的任意${\displaystyle y}$，存在${\displaystyle x\in [a,b]}$使得${\displaystyle f'(x)=y}$。

证明

不失一般性，可假设${\displaystyle f\,'_{+}(a)>y>f\,'_{-}(b)}$。又设${\displaystyle g(x):=f(x)-tx}$，则 ${\displaystyle g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)}$。只需找到${\displaystyle g'}$在${\displaystyle [a,b]}$上的一个零点即可。

由于${\displaystyle g}$是${\displaystyle [a,b]}$上的连续函数，由极值定理，${\displaystyle g}$在${\displaystyle [a,b]}$上达到极大值。由于${\displaystyle g'_{+}(a)>0}$，极大值不在${\displaystyle a}$处取到。同理，由于${\displaystyle g'_{-}(b)<0}$，极大值也不在b处取到。设${\displaystyle x}$为取到极大值的点，这时，${\displaystyle g\,'(x)=0}$。于是定理得证。

历史

19世纪时，大部分数学家认为介值定理已经可以刻画出连续函数。但在1875年，让·加斯东·达布证明这个想法是错误的，因为连续函数的导函数仍然具有介值性质，但不一定是连续函数。一个很常用的反例是拓扑学家正弦曲线函数：

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0{\text{时 }},\\0&x=0{\text{时 }}.\end{cases}}}$

其导数在${\displaystyle x=0}$处并不连续。

参考资料

• 万丽 , 李少琪 , 阎庆旭，《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》，《数学的实践与认识》2003年11期
• 潘继斌，《达布(Darboux)定理及其应用》，《湖北师范学院学报（自然科学版）》2000年01期

外部链接

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