连续函数演算

在数学中，特别是在算子理论和C*-代数理论中，连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C*-代数中的正规元的函数演算。

在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来，对于后者只能定义全纯函数演算。

动机

对于巴拿赫代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的成员 ${\displaystyle a}$ ，若要将其谱 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中成员 ${\displaystyle a}$ ，再证明这些 ${\displaystyle a}$ 的多项式序列收敛为 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中元素。

谱集 ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} }$ 上的连续函数由 ${\displaystyle z}$ 和 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ 的形如 ${\displaystyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ 的多项式来逼近，其中 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ 表示 ${\displaystyle z}$ 的复共轭，而复共轭是复数上的一个对合。在将 ${\displaystyle z}$ 替换为 ${\displaystyle a}$ 时，为使 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ 也有对应，须考虑 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 为巴拿赫*-代数，即配备了一个对合运算 ${\displaystyle *}$ 的巴拿赫代数，这时 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ 就被替换为 ${\displaystyle a^{*}}$ 。由于多项式环 ${\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}$ 是交换环，为得到一个 ${\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}$ 的代数同态，须限制在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的正规元（即满足 ${\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}$ 的成员）上。

须保证：若多项式序列 ${\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}$ 在 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上一致收敛于一连续函数 ${\displaystyle f}$ ，则 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的序列 ${\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}$ 收敛于 ${\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}}$ 。对这个收敛性的问题进行细致分析之后，就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。

定义

连续函数演算 — 设有单位元 ${\displaystyle e}$ 的C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中有一正规元 ${\displaystyle a}$ ，而 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 是 ${\displaystyle a}$ 谱集 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上的连续函数所构成的交换C*-代数。于是存在唯一一个*-同态 ${\displaystyle \Phi _{a}\colon {\mathcal {C}}(\sigma (a))\rightarrow {\mathcal {A}}}$ 满足 ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})=e}$ 和 ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})=a}$ ，其中常值函数 ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}}$ 满足 ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}(z)=1}$ ， ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ 是恒等映射。^[1]

该*-同态 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ 称为正规元 ${\displaystyle a}$ 的连续函数演算，通常也记作 ${\displaystyle f(a):=\Phi _{a}(f)}$。 ^[2]

由于*-同态性质，有以下对任意函数 ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 与标量 ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$ 有效的计算规则： ^[3]

${\displaystyle (\lambda f+\mu g)(a)=\lambda f(a)+\mu g(a)\qquad }$	（线性）
${\displaystyle (f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)}$	（乘法）
${\displaystyle {\overline {f}}(a)=\colon \;(f^{*})(a)=(f(a))^{*}}$	（对合）

因此，可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广，它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。

对于单位元的要求并不是一个强的限制。如果需要，可以添加一个单位元（英语：Rng (algebra)#Adjoining an identity element (Dorroh extension)），得到一个扩大了的C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ 。对于 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ 和满足 ${\displaystyle f(0)=0}$ 的 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ ，有 ${\displaystyle 0\in \sigma (a)}$ 和 ${\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}}$ 。^[4]

下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要：

连续函数演算的存在性的证明

设 ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ 是 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle e}$ 所生成的C*-子代数， ${\displaystyle a}$ 在 ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ 中的谱和在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中时是一样的，于是证明了 ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)}$ 。^[5] 实际的构造几乎直接可从盖尔范德表示（英语：Gelfand representation）中得出：只需设 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是某个紧空间 ${\displaystyle X}$ 上的连续函数所构成的C*-代数并定义 ${\displaystyle \Phi _{a}(f)=f\circ x}$ 。^[6]

连续函数演算的唯一性的证明

考虑到 ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})}$ 和 ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})}$ 已被固定，由于要求 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ 为*-同态，它对于所有的多项式 ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ 来说已经唯一定义。根据魏尔施特拉斯逼近定理，它们构成了 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 的一个稠密子代数。因此 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ 是唯一的。^[6]

在泛函分析中，常对正规算子 ${\displaystyle T}$ 的连续函数演算感兴趣，即 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是希尔伯特空间 ${\displaystyle H}$ 上的有界算子所构成的C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ 的情况。在文献中，通常仅对此情况的自伴算子的连续函数演算作了证明。在这种情况下，证明不需要用到盖尔范德表示。 ^[7]

性质

到子代数的等距同构

连续函数演算 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ 是到 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle e}$ 所生成的C*-子代数 ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ 的等距同构，即：^[6]

• $${\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}.}$$于是 ${\displaystyle \Phi _{a}}$显然是连续的。
• $${\displaystyle \Phi _{a}\left({\mathcal {C}}(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}},}$$ 也就是说 ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ 是连续函数演算的值域。

由于 ${\displaystyle a}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的正规元，由 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle e}$ 生成的C*-子代数是一个交换代数。特别地， ${\displaystyle f(a)}$ 也是一个正规元，且函数演算的所有成员间都对易。^[3]

与其他函数演算的关系

全纯函数演算可无歧义地扩张为连续函数演算。^[8]因此，连续函数演算在多项式 ${\displaystyle p(z,{\overline {z}})}$ 上重合于多项式函数演算^[2]： $${\displaystyle \forall c_{k,l}\in \mathbb {C} ,\quad \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l},}$$ 其中 ${\displaystyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}}$ 。

对于 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上一致收敛于函数 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 的函数序列 ${\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ ， ${\displaystyle f_{n}(a)}$ 收敛于 ${\displaystyle f(a)}$ 。^[9]对于 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上绝对且一致地收敛的幂级数 ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ ，就有 ${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$ 。^[10]

反函数的连续函数演算

若有 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 和 ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}$ ，那么它们的函数演算的复合满足 ${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$ 。^[4]

设有两个正规元 ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}$ 满足 ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ，且无论限制在 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 还是 ${\displaystyle \sigma (b)}$ 上时 ${\displaystyle g}$ 都是 ${\displaystyle f}$ 的反函数，那么必然有 ${\displaystyle a=b}$ ，因为 ${\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}$ 。^[11]

谱映射定理

谱映射定理 $${\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}$$ 也成立^[6]。

对于 ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ ，若有 ${\displaystyle ab=ba}$ ，那么也有 $${\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad f(a)b=bf(a).}$$ 也就是说若 ${\displaystyle b}$ 与 ${\displaystyle a}$ 对易，则它也与 ${\displaystyle a}$ 的在连续函数下的像 ${\displaystyle f(a)}$ 对易。^[12]

与*-同态相容

设 ${\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ 是C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 间的保单位元的*-同态，那么 ${\displaystyle \Psi }$ 与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说： $${\displaystyle \forall f\in C(\sigma (a)),\quad \Psi (f(a))=f(\Psi (a)).}$$ 特别地，连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。^[3]

函数性质与像的性质间的关系

利用谱映射定理，具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质^[13]：

• ${\displaystyle f(a)}$ 是可逆元当且仅当 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上没有零点。^[14]于是有 ${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$ 。^[15]

• ${\displaystyle f(a)}$ 是自伴元当且仅当 ${\displaystyle f}$ 是实值函数，也就是${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$说 ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle f(a)}$ 是正元（ ${\displaystyle f(a)\geq 0}$ ）当且仅当 ${\displaystyle f\geq 0}$ ，也就是说 ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$.
• ${\displaystyle f(a)}$ 是幺正元，若 ${\displaystyle f}$ 的值落在复单位圆中。也就是说， ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.}$
• ${\displaystyle f(a)}$ 是一个投影，若 ${\displaystyle f}$ 仅取值 ${\displaystyle 0}$ 或 ${\displaystyle 1}$ ，也就是说 ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}$.

这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论，这些结论会在§ 应用一节中展示。

有界算子代数的谱

在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是希尔伯特空间 ${\displaystyle H}$ 上的有界算子所构C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ 的特殊情况下，正规算子 ${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}$ 的对应特征值 ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ 的特征向量 ${\displaystyle v\in H}$ 也将是算子 ${\displaystyle f(T)}$ 关于特征值 ${\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}$ 的特征向量。设 ${\displaystyle Tv=\lambda v}$ ， 则 ${\displaystyle \forall f\in \sigma (T),\quad f(T)v=f(\lambda )v}$ 。^[16]

应用

下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。

谱

设 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是一个C*-代数而 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ 为其中一个正规元，则对于谱 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 有以下结论^[13]：

• ${\displaystyle a}$ 是自伴元当且仅当 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle a}$ 是幺正元当且仅当 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.}$
• ${\displaystyle a}$ 是一个投影当且仅当 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$.

证明^[2]

正规元 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ 的连续函数演算 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ 是一个保单位元的*-同态，因此若 ${\displaystyle \operatorname {Id} \in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 是自伴的/幺正的/投影，则 ${\displaystyle a}$ 也相应地成为自伴元/幺正元/投影。

1. ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ 自伴的充要条件是 $${\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}},}$$ 即 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 是实的。
2. ${\displaystyle {\text{Id}}}$ 幺正的充要条件是 $${\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2},}$$ 即 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}$ 。
3. ${\displaystyle {\text{Id}}}$ 成为投影的充要条件是 $${\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z),}}$$ 即 $${\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad z^{2}=z={\overline {z}},}$$ 或者说 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$ 。

开方

设 ${\displaystyle a}$ 是 C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的正元，那么对于每一个 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 存在一个唯一确定的正元 ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ 满足 ${\displaystyle b^{n}=a}$ ，即唯一的 ${\displaystyle n}$ 次方根。^[17]

证明

对于每个 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，开方函数 $${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}\colon x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$$ 是 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}}$ 上的连续函数。若通过连续函数演算来定义 ${\displaystyle b\;\colon =f_{n}(a)}$ ，那么根据连续函数演算的性质有 $${\displaystyle b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a.}$$

根据谱映射定理可知 $${\displaystyle \sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty ),}$$ 也就是说 ${\displaystyle b}$ 是正元。^[17]

设有另一正元 ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$ 满足 ${\displaystyle c^{n}=a=b^{n}}$ ，则有 ${\displaystyle c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b}$ ，因为正实数上的开方函数是函数 ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ 的反函数。^[11]

若 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ 是自伴元，则至少有：对于每个奇数 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，存在唯一确定的自伴元 ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ 满足 ${\displaystyle b^{n}=a}$ 。^[18]

类似地，对于C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中正元 ${\displaystyle a}$ 和任意 ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ， ${\displaystyle a^{\alpha }}$ 唯一定义了一个 ${\displaystyle C^{*}(a)}$ 中的正元，并满足 $${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \geq 0,\quad a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }.}$$ 若 ${\displaystyle a}$ 是可逆元，则还可以推广到取负值的 ${\displaystyle \alpha }$ 。^[17]

绝对值

若 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ 且 ${\displaystyle a^{*}a}$ 是正元，那么绝对值可由连续函数演算定义为 ${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}$ ，因为它在正实数上连续。^[19]

设 ${\displaystyle a}$ 是C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的自伴元，则存在正元 ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ，使得 ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ 和 ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$ 成立。 ${\displaystyle a_{+}}$ 和 ${\displaystyle a_{-}}$ 也被称为正部和负部。^[20]此外还有 ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$ 。^[21]

证明

函数 ${\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}$ 和 ${\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}$ 是 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$ 上的连续函数且满足

• ${\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z),}$
• ${\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0.}$

设 ${\displaystyle a_{+}=f_{+}(a),a_{-}=f_{-}(a)}$ ，由谱映射定理可知 ${\displaystyle a_{+}}$ 和 ${\displaystyle a_{-}}$ 是正元，且有^[20]：

• ${\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-},}$
• ${\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}.}$

此外^[21]， $${\displaystyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}},}$$ 故 $${\displaystyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}.}$$

幺正元

若 ${\displaystyle a}$ 是有单位元 ${\displaystyle e}$ 的C*-代数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的自伴元，那么 ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$ 是幺正元，其中 ${\displaystyle \mathrm {i} }$ 表示虚数单位。反过来，若 ${\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}$ 是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集（即 ${\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }$ ），那么存在一个自伴元 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ 满足 ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$ 。^[22]

证明^[22]

定义函数 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$ ，由于 ${\displaystyle a}$ 的自伴性使得 ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {R} }$ ，那么 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle a}$ 的谱上有定义。取 ${\displaystyle u=f(a)}$ ，由于 ${\displaystyle f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1}$ ，根据函数演算性质可知 ${\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=e}$ ，也就是说 ${\displaystyle u}$ 是幺正元。

对于第二个命题，现在将 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$ 限制到区间 ${\displaystyle [z_{0},z_{0}+2\pi )}$ 上（其中 ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {R} }$ ），从而可以定义其反函数 ${\displaystyle g:\mathbb {T} \to [z_{0},z_{0}+2\pi ):\ g(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})=x}$ ，且 ${\displaystyle g}$ 在谱集 ${\displaystyle \sigma (u)}$ 上有定义，且是其上的实值连续函数。那么它的连续函数函数演算就会将 ${\displaystyle u}$ 映为自伴元 ${\displaystyle a=g(u)}$ 。

谱分解定理

设 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是一个有单位元的C*-代数，其中有一个正规元 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ 。假设谱由 ${\displaystyle n}$ 个两两不相交的闭子集 ${\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} ,\ (1\leq k\leq n)}$ 构成，也就是说 ${\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}$ 。那么就存在投影 ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}$ ，使得下面的命题对任意 ${\displaystyle j\geq 1,k\leq n}$ 都成立：^[23]

1. 投影的谱满足 ${\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}.}$
2. 投影与 ${\displaystyle a}$ 对易，即 ${\displaystyle p_{k}a=ap_{k}.}$
3. 投影是正交的，即 ${\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}.}$
4. 投影之和为单位元，即 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e.}$

特别是，有分解 ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ，其中 ${\displaystyle \forall 1\leq k\leq n,\sigma (a_{k})=\sigma _{k}.}$

证明^[23]

由于 ${\displaystyle \sigma _{k}}$ 是闭的，故其指示函数 ${\displaystyle \chi _{\sigma _{k}}}$ 在 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上连续，可以定义其连续函数演算。

令 ${\displaystyle p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)}$ 。 由于 ${\displaystyle \sigma _{k}}$ 两两不交，有

• ${\displaystyle \chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}},}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}},}$

从而由指示函数的连续函数演算所得的 ${\displaystyle p_{k}}$ 满足性质3、4。

性质2则可由 $${\displaystyle a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)}$$ 证明。