通量

通量（英语：Flux），或称流束是通过一个表面或一个物质的量，是一个物理学和应用数学的概念。在热学和流体力学领域中，研究输运现象时，是指在单位时间内通过单位面积的具有方向的流量，它是一个向量；在电磁学领域中，是指在单位面积上垂直于其表面的磁场或电场的强度，它是一个标量。

向量场F的场线通过具有单位法线n的表面，从n到F的角度为θ。通量是多少场通过给定表面的量度。F被分解为与n垂直（⊥）和平行（‖）的分量。只有平行分量对通量有贡献，因为它是在一个点处穿过表面的场的最大范围，垂直分量没有贡献。 上图：通过平面的三条磁力线，一条垂直于表面，一条平行，一条中间 。下图：通过曲面的磁力线，显示单位法线和表面元素的设置以计算通量。

为了计算通过表面S的矢量场F（红色箭头）的通量，将表面分成小块dS。通过每个面片的通量等于场的法线（垂直）分量，即F(x)与点x处的单位法向量n(x)（蓝色箭头）乘以面积dS的内积。 表面上每个小块的F • n, dS之和是通过表面的通量。

给定一个三维空间中的向量场${\displaystyle \mathbf {A} }$以及一个简单有向曲面${\displaystyle \Sigma }$，则向量场${\displaystyle \mathbf {A} }$通过曲面${\displaystyle \Sigma }$的通量就是曲面每一点${\displaystyle x}$上的场向量${\displaystyle \mathbf {A} (x)}$在曲面法向方向上的分量的积分:

${\displaystyle \Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )=\iint \limits _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S}$

其中${\displaystyle \mathrm {d} S}$是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。

术语

通量这个词源于拉丁语：fluxus 意为“流”，fluere 是“流动”的意思。而 fluxion 一词是由牛顿引入微积分。

热通量的概念是约瑟夫·傅立叶对热传递现象分析的重要贡献之一。他的重要著作《热的分析理论》（英语：The Analytical Theory of Heat）中，将 fluxion 定义为一个核心量，并推导出了现在的通量表达式。这些表达式与平板的温度差异有关，且更广义地在其他几何形状的温度梯度或温度差异有关。根据詹姆斯·克拉克·马克士威的研究，可以显示其传输的定义早于磁通量定义。马克士威的具体引言是：

In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface.（中文：就通量而言，我们必须以通过表面的每个通量对其表面取积分。这个操作的结果即通量的曲面积分。它呈现的是通过该表面的量。）

—— 詹姆斯·克拉克·马克士威

根据传输的定义，通量可为单一向量，也可以是位置的向量场／函数。后者的通量可以很容易地在一个表面上积分。相比之下，根据电磁学定义，通量是对表面的积分；对于第二种定义的通量进行积分是没有意义的，因为这样会对表面进行两次积分。因此，马克士威的引言只有在“通量”按照传输定义使用时才有意义（进一步来说，是向量场而不是单一向量）。这很讽刺，因为马克士威是我们现在所称的“电通量”和“磁通量”的主要发展者之一，而这些名称是根据电磁学定义来的。根据该引言（和传输定义），它们应该被称为“电通量的曲面积分”和“磁通量的曲面积分”。在这种情况下，“电通量”应定义为“电场”，“磁通量”应定义为“磁场”。这意味着马克士威将这些场视为某种形式的流动／通量。

根据电磁学定义的通量，其相应的通量密度（假设使用这个术语）指的是沿积分表面的导数。根据微积分基本定理，相应的通量密度是根据传输定义的通量。给定一个流，例如电流——每单位时间的通电量，电流密度根据传输定义也是一个通量——每单位时间每单位面积的通电量。由于通量的定义冲突，以及在非技术性英语中通量、流动和电流的互换性，本文中的所有术语有时会被互相使用且可能含义模糊。本文其余部分中具体的通量将根据其在文献中的广泛接受度来使用，无论该术语对应哪种通量的定义。

以单位面积流量表示的通量

在输送现象（热传、质传和流体动力学），通量被定义为“每单位面积的流量的流动率”，其因次组成为 量 (物理)·[时间]⁻¹·[面积]^−1[1]。这个面积是流“通过”或“穿过”的表面。例如，每秒钟流经河流横截面的水量除以横截面的面积，或是每秒钟落在地面一块区域上的阳光能量除以该区域的面积，都是通量的例子。

一般数学定义（传输）

以下是按复杂度递增的三个定义。每个定义都是下面这个的一个特例。在所有情况下，常用符号 ${\textstyle j}$（或 ${\textstyle J}$）表示通量，${\textstyle q}$ 表示流动的物理量，${\textstyle t}$ 表示时间，${\textstyle A}$ 表示面积。当且唯当这些标识符是向量时，它们将以粗体显示。

首先，通量作为一个（单一的）标量时：

$${\displaystyle j={\frac {I}{A}}}$$

其中

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}}$$

在这种情况下，测量固定的通量的表面，且具有面积${\displaystyle A}$。假设该表面是平坦的，而流量在各处相对于位置是恒定的，并且垂直于表面。

其次，通量作为沿着表面定义的标量场，即作为表面上各点的函数：

$${\displaystyle j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$$${\displaystyle I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).}$$

如上所述，假设表面是平坦的，且流量在各处都垂直于表面。然而，流不需要是恒定的。此时，${\displaystyle q}$ 是 p（表面上的一个点）的函数，面积 ${\displaystyle A}$亦是。与其测量通过整个表面的总流量，不如 ${\displaystyle q}$ 测量的是以 p 为中心、沿表面上面积 A 的圆盘通过的流量。

最后，通量作为一个向量场时： $${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$ $${\displaystyle \mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).}$$

在这种情况下，我们没有固定的表面来测量。${\displaystyle q}$ 是一个点、面积和方向（由单位向量 ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ 给定）的函数，并测量与该单位向量垂直的面积 A 的圆盘中的流量。${\displaystyle I}$ 的定义是选择使该点周围流量最大的单位向量，因为真正的流量在垂直于该单位向量的圆盘上达到最大值。因此，当单位向量指向流动的“真正方向”时，它唯一地最大化该函数。（严格来说，这是一种滥用符号，因为“arg max”无法直接比较向量；我们改为选择具有最大范数的向量。）

性质

这些直接的定义，尤其是最后一个，显得相对不完善。例如，从经验测度（英语：Empirical measure）来看，arg max 的构造是人工的，而使用风向标或类似工具可以简单推断出某一点的通量方向。与其直接定义向量通量，通常更直观的是陈述一些关于它的性质。此外，通量可以根据这些性质唯一确定。

若通量 j 以角度 ${\displaystyle \theta }$ 通过（${\displaystyle \theta }$为该通量与该面积法向量 ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ 形成之夹角），则其点积为：

$${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta }$$

也就是说，通过表面的通量分量（即垂直于表面的分量）是 ${\displaystyle j\cos {\theta }}$，而沿切向通过表面的通量分量是 ${\displaystyle j\sin {\theta }}$，但实际上没有通量沿切向通过表面。唯一通过且垂直表面的通量分量是其余弦分量。

对于向量通量，通量 j在表面 ${\displaystyle S}$上的曲面积分给出了每单位时间通过该表面的适当流量：

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }$$

其中 A（及其无穷小量）是向量面积（英语：vector area）—— ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$ 的组合，结合了面积 A 的大小和垂直于该面的单位向量 ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ 。与第二组方程式不同的是，这里不需要平坦的表面。

最后，以时间区间 ${\displaystyle t_{1}}$ 到 ${\displaystyle t_{2}}$ 做积分，计算在该时间段 ${\displaystyle (t_{2}-t_{1})}$ 内流过表面的总量：

$${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \operatorname {d} \mathbf {A} \operatorname {d} \!t}$$

传输通量

八种在输送现象文献中最常见的通量定义如下：

1. 动量通量（英语：Transport phenomena#Momentum transfer）（英语：momentum flux）：单位面积上动量的传输速率 (N·s·m⁻²·s⁻¹)。（牛顿黏度定律）^[2]
2. 热通量（英语：heat flux）：单位面积上热流动的速率 (J·m⁻²·s⁻¹)。（傅立叶热传导定律）（也符合马克士威对热通量的原始定义。）^[3]
3. 扩散通量（英语：diffusion flux）：单位面积上分子运动的速率 (mol·m⁻²·s⁻¹)。（菲克定律）
4. 体积通量（英语：Volumetric flux）（英语：volumetric flux）：单位面积上体积流动的速率 (m³·m⁻²·s⁻¹)。（达西定律）
5. 质量通量（英语：mass flux）：单位面积上质量流动的速率 (kg·m⁻²·s⁻¹)。（质量通量可以是费克定律的另一种形式，其中包含分子质量；或者达西定律的另一种形式，其中包含密度。）
6. 辐射通量（英语：radiative flux）：单位面积、每秒从光源在特定距离处以光子形式传输的能量量 (J·m⁻²·s⁻¹)。这在天文学中用于确定恒星的星等和光谱类型。它也是热通量的一种推广，当限制在电磁频谱范围内时，辐射通量就等于热通量。
7. 能量通量（英语：energy flux）：单位面积上能量传输的速率 (J·m⁻²·s⁻¹)。辐射通量和热通量是能量通量的特例。
8. 粒子通量（英语：particle flux）：单位面积上粒子传输的速率 ([粒子数量] m⁻²·s⁻¹)。

这些通量在空间中的每一个点都是向量，具有明确的大小和方向。此外，可对任何这些通量取散度，以确定在空间中给定点周围的控制体积内该量的累积速率。对于不可压缩流，体积通量的散度为零。

化学扩散

如上所述，化学的莫耳通量在等温、等压系统中，成分 A 在菲克扩散定律中定义为：

$${\displaystyle \mathbf {J} _{A}=-D_{AB}\nabla c_{A}}$$

其中 nabla 符号 ${\displaystyle \nabla }$ 表示梯度算子，${\displaystyle D_{AB}}$ 是成分 A 透过成分 B 扩散时的扩散系数 (m²·s⁻¹)，${\displaystyle c_{A}}$ 是成分 A 的浓度 (mol/m³)。^[4]

这个通量的单位是 mol·m⁻²·s⁻¹，符合马克士威对通量的原始定义。^[3]

对于稀薄气体，分子动力学理论将扩散系数 D 与粒子密度 n=N/V、分子质量 m、碰撞截面 σ 以及绝对温度 T 联系起来，关系式如下：

$${\displaystyle D={\frac {2}{3n\sigma }}{\sqrt {\frac {kT}{\pi m}}}}$$

其中，第二个因子是平均自由径，而平方根（包含波兹曼常数 k）项 则是粒子的平均速率。

在紊流中，涡旋运动所造成的传输可以表示为一个大幅增加的扩散系数。

量子力学

主条目：几率流

在量子力学中，质量为 m 的粒子在量子态 ψ(r, t) 下，其几率幅定义为：

$${\displaystyle \rho =\psi ^{*}\psi =|\psi |^{2}}$$

因此，在微分体积元素 d³r 中找到粒子的几率是：

$${\displaystyle dP=|\psi |^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$$

那么，单位时间内垂直穿过截面单位面积的粒子数就是几率通量（英语：probability flux）。

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi \right)}$$

有时也被称为几率流、几率流密度^[5]，或者几率通量密度^[6]。