阿培里常数

在数学中，阿培里常数是一个时常会遇到的常数。在一些物理问题中阿培里常数也会很自然地出现。比如说量子电动力学里，阿培里常数出现在电子的磁旋比展开的第二项与第三项中。

阿培里常数

阿培里常数
识别
种类	无理数
符号	${\displaystyle \zeta (3)}$
位数数列编号	A002117
性质
定义	${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}}$
连分数	${\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{18+{\frac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}}$ 注意这个连分数不是循环的
表示方式
值	${\displaystyle \zeta (3)\approx }$1.202056903159594...
二进制	1.001100111011101000000000010011…
十进制	1.2020569031595942853997381…
十六进制	1.33BA004F0062138371715C59E…

阿培里常数的准确定义是黎曼ζ函数的一个值：ζ(3)，

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \,\!}$

它的前45位准确数字为：(Wedeniwski 2001)

ζ(3) = 1.202056903159594285399738161511449990764986292…   （OEIS数列A002117）.

这个常数的倒数也是一个有意义的常数：考虑任意三个随机抽取的正整数，它们之间互素的概率正是阿培里常数的倒数。

阿培里定理

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事实上，黎曼ζ函数在偶数上的取值是容易求得的，在奇数上的取值则远未有一般性成果。这个常数以数学家罗杰·阿培里（英语：Roger Apéry）命名，因为后者在1978年证明了它是一个无理数。这个结论被称为阿培里定理（英语：Apéry's theorem）。最初的证明很长，而且晦涩难懂，幸好不久后发现了更为简洁的证明，只需要用到勒让德多项式。现在还不能确定阿培里常数是否是超越数。

近来的研究表明，黎曼ζ函数在无穷多个奇数上的取值都是无理数 ^[1]，并且ζ(5)、ζ(7)、ζ(9)和ζ(11)之中至少有一个是无理数^[2]。

级数表示

1772年，莱昂哈德·欧拉证明了一个关于ζ(3)的级数表示：

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}$

这个结果后来又多次被其他人独立发现。

在当代，西蒙·普劳夫给出了一系列级数，使得运用它们能够精确地计算出阿培里常数的第n位小数的数值，而不需要求出它的前n − 1位小数。其中有：

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}$

以及：

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}$

已知数字

和不少数学常数一样，近几十年来，阿培里常数的数值计算经历了惊人的进展。这一方面是由于计算机计算能力的快速提高，另一方面也是因为不断有更好的算法被找到。1998年，布拉德赫斯特发现了一种能够在线性时间内计算阿培里常数的二进制数值的方法，并且只需要用到对数规模的储存空间。

阿培里常数ζ(3)的已知数值位数

时间	十进制位数	计算者
未知	16	阿德里安-马里·勒让德
1887年	32	汤姆斯·斯蒂尔吉斯
1996年	520,000	西蒙·普劳夫
1997年	1,000,000	布鲁诺·爱博和汤姆斯·帕帕尼科劳
1997年5月	10,536,006	帕德里克·德米切尔
1998年2月	14,000,074	塞巴斯蒂安·维德尼夫斯基
1998年3月	32,000,213	塞巴斯蒂安·维德尼夫斯基
1998年7月	64,000,091	塞巴斯蒂安·维德尼夫斯基
1998年12月	128,000,026	塞巴斯蒂安·维德尼夫斯基
2001年9月	200,001,000	宫本芳正和扎维尔·古东
2002年2月	600,001,000	宫本芳正和扎维尔·古东
2003年2月	1,000,000,000	帕德里克·德米切尔和扎维尔·古东
2006年4月	10,000,000,000	宫本芳正和斯蒂夫·帕格利亚鲁诺
2009年1月	15,510,000,000	亚历山大·易和雷蒙·陈
2009年3月	31,026,000,000	亚历山大·易和雷蒙·陈

参考来源