隐函数定理

在数学分析中，隐函数定理（英语：Implicit function theorem）是一个用来回答下面的问题的工具：

以隐函数表示一個多變量函數，此函數的變量在局部上是否存在显式的关系？

隐函数定理说明，对于一个由关系 ${\displaystyle f(x,y)=0}$ 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有邻域使得在该邻域内 y 可以表示成关于 x 的函数：

${\displaystyle y=h(x)}$

这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。

举一个简单例子：假设两个变量 x, y 满足隐函数 x² + y² − 1 = 0，此隐函数代表了平面上的单位圆，任取单位圆中的一点，那是否存在包含该点的邻域跟定义在邻域里的显函数 y=h(x) 去(局部的)描述这单位圆的图形？

答案是：除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 两点外，其他点局部上都有 y=h(x) 的显函数表达式。理由请看下面的隐函数定理。

例子

让函数${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$，则单位圆就可以写成满足方程式${\displaystyle f(x,y)-1=0}$的点的集合。在圆上的点A附近，y 可以表示成 x 的函数： ${\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$，但点B就不行（因为在点B附近，一个 x 会对应到两个 y 的值）。

有函数 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$，那么方程式 ${\displaystyle f(x,y)-1=0}$ 的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整体上是无法表示成单变数函数 ${\displaystyle y=h(x)}$ 的形式的，因为每个${\displaystyle x\in (-1,1),}$都有两个${\displaystyle y}$的值与之对应，即${\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$。

然而在某些点附近，局部地用 ${\displaystyle x}$ 来表示 ${\displaystyle y}$ 是可能的。比如给定圆上一点 ${\displaystyle (x,y)}$，如果 ${\displaystyle y>0}$，也就是说如果只选取圆的上半部分的话，在这一点附近 ${\displaystyle y}$ 可以写成关于 ${\displaystyle x}$ 的函数：${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$。如果 ${\displaystyle y<0}$，在圆的下半部分 ${\displaystyle y}$ 也可以写成关于 ${\displaystyle x}$ 的函数：${\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$。

但是，在点 ${\displaystyle (\pm 1,0)}$ 的附近，${\displaystyle y}$ 无法写成关于 ${\displaystyle x}$ 的函数，因为这些点的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是说对于附近的每一个 ${\displaystyle x}$，都有两个 ${\displaystyle y}$ 的值与之对应，这种情况下 ${\displaystyle y}$ 无法写成 ${\displaystyle x}$ 的函数。

定理的叙述：欧几里得空间的情况

设 f : R^n+m → R^m 为一个连续可微函数。这里R^n+m 被看作是两个空间的直积： Rⁿ×R^m，于是 R^n+m 中的一个元素写成 (x,y) = (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m) 的形式。 我们的目标是找到一个函数 h: Rⁿ → R^m ，让这函数的图形(graph of a function), (x, h(x)), 局部上恰好等于集合{ (x, y) | f(x,y) = 0}，当然这目标不见得一定可以达成，接下来我们会看需要哪些条件来保证函数 h 的局部存在。

固定一点(a,b) = (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m) 使得 f(a, b) = 0，我们希望在点 (a,b) 的附近找到一个 y 关于 x 的函数 h，严格来说，就是说存在 a 的邻域 U ⊆ Rⁿ 和 b 的邻域 V ⊆ R^m 以及函数：h : U → V，使得 h 的函数的图形 (x, h(x)) 刚好等于 U × V 中 f(x,y) = 0 的集合，也就是说：

${\displaystyle \{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}}$。

要保证这样的函数 h 存在，函数 f 的雅可比矩阵要满足某些性质。对于给定的一点 (a,b)，f 的雅可比矩阵写作：

${\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}$

其中的矩阵 ${\displaystyle X}$ 是函数 f 关于变数 x 的偏微分，而矩阵 ${\displaystyle Y}$ 是 f 关于变数 y 的偏微分。隐函数定理说明了：如果${\displaystyle Y}$是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的邻域 U、V 和函数 h(x) 就会存在。正式的叙述就是：

设 f : R^n+m → R^m 为连续可微函数，让 R^n+m 中的坐标记为 (x, y), (x, y) = (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m)。给定一点  (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m) = (a,b) 使得   f(a,b)=0（0 ∈ R^m，是个零向量）。如果 m×m 矩阵 [(∂f_i / ∂y_j)(a, b) 是可逆矩阵的话（此矩阵即上面的矩阵 ${\displaystyle Y}$），那么存在 a 的邻域 U ⊆ Rⁿ、b 的邻域 V ⊆ R^m 以及唯一的连续可微函数 h:U → V，使得

${\displaystyle h(\mathbf {a} )=\mathbf {b} }$

且

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ,\,\,}$ 对所有的 ${\displaystyle \mathbf {x} \in U}$。

一般情形

设${\displaystyle E_{1}}$、${\displaystyle E_{2}}$和${\displaystyle F}$是三个巴拿赫空间，而${\displaystyle U}$、${\displaystyle V}$分别是${\displaystyle E_{1}}$、${\displaystyle E_{2}}$上的两个开集。设函数：

${\displaystyle f:U\times V\rightarrow F}$

是一个${\displaystyle k~(k\geq 1)}$阶可微函数（见Fréchet导数），并且对于${\displaystyle E_{1}\times E_{2}}$中的一点${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$，满足：

• ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$
• 映射 ${\displaystyle y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)}$ 是一个从${\displaystyle E_{2}}$到${\displaystyle F}$的同构

那么有如下结论：

存在${\displaystyle x_{0}}$的邻域 ${\displaystyle U_{0}\subset U}$ 、 ${\displaystyle y_{0}}$的邻域 ${\displaystyle V_{0}\subset V}$ ，以及 ${\displaystyle k}$ 阶Fréchet可微函数${\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}}$，使得：

对任意${\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}}$，只要${\displaystyle f(x,y)=0}$，就有${\displaystyle y=\varphi (x)}$。

参见

• 反函数定理
• 不动点定理
• 压缩映射定理
• 微分

参考来源

• （英文）Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF). Iowa State University. [2009-11-05]. （原始内容 (PDF)存档于2021-05-07）.
• Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984.

• Danilov, V.I., Implicit function (in algebraic geometry), Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.

• Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2.

• Fritzsche, K.; Grauert, H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. 2002.

• Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522.

• Kudryavtsev, Lev Dmitrievich, Implicit function, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.

• Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117.

• Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.